ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА РІДИНИ І ГАЗУ.

Тестова сторінка

 

					КОПАНИЦЯ Ю.Д.








ТЕХНІЧНА  МЕХАНІКА  РІДИНИ  І  ГАЗУ.
	ТЕОРІЯ  І  ПРАКТИКА



КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСІТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА РІДИНИ І ГАЗУ. ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА УЧБОВИЙ ПОСІБНИК до курсу " ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА РІДИНИ І ГАЗУ " для бакалаврів будівництва 6.092100 “ Промислове та цивільне будівництво ” з узагальненим об’єктом діяльності КИЇВ 2022 КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСІТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА РІДИНИ І ГАЗУ. ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА УЧБОВИЙ ПОСІБНИК до курсу " ТЕХНІЧНОЇ МЕХАНІКИ РІДИНИ І ГАЗУ " для бакалаврів будівництва 6.092100 “Промислове та цивільне будівництво” з узагальненим об’єктом діяльності Затверджено на засіданні кафедри гідравліки і водовідведення Протокол від "__"__________2022 г КИЇВ 2022 " ТЕХНІЧНА МЕХАНІКА РІДИНИ І ГАЗУ. ОСНОВИ І ПРАКТИКУМ " для бакалаврів будівництва 6.092100 “Водопостачання і водовідведення” з узагальненим об’єктом діяльності. Сост. Ю.Д.Копаниця. -К.:КНУБА, 2022.- с. ЗМІСТ Анотація Вступ 1. ОСНОВНІ ФІЗИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ РІДИНИ І ОДИНИЦІ ЇХ ВИМІРЮВАННЯ 1.1. Поняття рідини і газу 1.2. Густина і питома вага рідини 1.3. Пружність і стисливість 1.4. В’язкість 1.5. Сили в рідині 1.6. 0диниці вимірювання механічних величин 2. ГІДРОСТАТИКА 2.1. Гідростатичний тиск і його властивості 2.2. Абсолютний, манометричний і вакуумметричний тиски. 2.3. Рівняння Ейлера в диференціальній формі 2.4. Основне рівняння гідростатики 2.5. Зміна тиску з глибиною 2.6. Закон Паскаля і гідравлічний прес 2.7. Сила тиску на плоску стінку 2.8. Сила тиску на криволінійну поверхню. Тіло тиску 2.9. Закон Архімеда і умови плавання тіл 3. ГІДРОДИНАМІКА 3.1. Види руху рідини. Поняття про лінії течії, елементарну струминку, потік 3.2. Рівняння нерозривності для струминки і потоку 3.3. Поняття про рівняння Д. Бернуллі і загальні вказівки до його практичного застосування. 3.4. Рівняння Д.Бернуллі для елементарної струминки 3.5. Рівняння Д.Бернуллі для потоку нев'язкої нестисливої рідини 3.6. Рівняння Д. Бернуллі для потоку в'язкої нестисливої рідини 3.7. Фізична природа опорів 3.8. Режими руху рідини. Число Рейнольдса 3.9. Розподіл дотичних напружень і швидкостей в трубах 3.10. Втрати напору за довжиною. Гідравлічний коефіцієнт тертя 3.11. Місцеві втрати напору. Коефіцієнт місцевих опорів 3.12. Поняття про відносний рух рідини і твердих тіл 4. ВИТІКАННЯ РІДИНИ З ОТВОРІВ І НАСАДОК 4.1. Витікання рідини з малого отвору у тонкій стінці із закритого резервуара 4.2. Витікання рідини крізь затоплений отвір (під рівень) 4.3. Витікання рідини крізь великий отвір 4.4. Випорожнення (наповнення) резервуара з отвором 4.5. Витікання крізь насадки 5. КОРОТКІ І ДОВГІ ТРУБОПРОВОДИ 5.1. Загальні положення 5.2. Розрахунок довгих трубопроводів 5.3. Послідовне і паралельне сполучення 6. ПОНЯТТЯ ПРО ФІЛЬТРАЦІЮ РІДИНИ 6.1. Поняття про пористе середовище 6.2. Поняття про коефіцієнт фільтрації і пористість 6.3. Поняття про водний баланс і його застосування у фільтраційних задачах 6.4. Поняття про дренажі та їх розрахунки 6.5. Інфільтрація в двошарове пористе середовище з поверхневого шару води 6.6. Безнапірна фільтрація між досконалими каналами 6.7. Усталений приплив до регулярної системи недосконалих горизонтальних дрен 6.8. Усталена безнапірна фільтрація до досконалої свердловини 6.9. Неусталений приплив до свердловини і групи свердловин в напірному пласті 6.10. Неусталений приплив до досконалої горизонтальної дрени (каналу) 7. РОЗРАХУНКОВО-ГРАФИЧНІ ЗАВДАННЯ 7.1. Зміна тиску з глибиною 7.2. Сила тиску на плоску поверхню 7.3. Сила тиску на криволінійну поверхню 7.4. Кінематика рідини 7.5. Рівняння Д.Бернуллі для ідеальної рідини . 7.6. Режими руху рідини 7.7. Рівняння Д.Бернуллі для в’язкої нестисливої рідини. Побудова п’єзометричної і напорної ліній. 7.8. Гідравлічні опори 7.9. Витікання рідини крізь отвори і насадки 7.10. Розрахунок коротких і довгих трубопроводів Анотація Базуючись на підручнику Ю.М.Константінова, О.О.Гіжи «Технічна механіка рідини і газу», стисло викладені теоретичні основи технічної механіки рідини і газу. Основна увага приділяється тим положенням, які безпосередньо використовуються при розв’язанні гідравлічних задач з останнього розділу. Пояснюється фізична суть гідравлічних явищ і процесів, наводяться вказівки для полегшення розв’язку задач. Обговорюється поняття про рух рідин в пористому середовищі, його фільтраційні властивості, дренаж. Наведені фільтраційні схеми, які часто відповідають реальним водно-фізичним умовам у будівництві і водогосподарчій практиці. Зміст останнього розділу складають умови задач по всіх основних розділах курсу. Докладно розглянуті приклади розв’язку деяких типових задач. Довідкова інформація в об’ємі, що забезпечує практичну роботу з матеріалами першої частини без звертання до інших джерел, міститься в додатку. В с т у п Технічна механіка рідини і газу займається станом і рухом вказаних фізичних тіл з метою їх ефективного застосування в різних галузях економіки – будівництві, водопостачанні, гідротехніці, меліорації тощо. Також цей важливий розділ загальної механіки часто називають гідравлікою. Така назва має грецьке походження і поєднує два ключових науково-технічних поняття – воду і трубу. Гідравліка вивчає і умови рівноваги рідин, відповідний механічний стан, і причини, що обумовлюють їх неврівноваженість, закономірності руху. Набуте таким чином знання вона застосовує для розв’язання практичних задач гідростатики і гідромеханіки. Гідравліка має багатовікову історію, про що свідчить поява першої відомої нам суто гідравлічної праці, присвяченої плаванню тіл (Архімед), ще в третьому сторіччі до нашої ери. Разом з цим можна припустити, що будівництву великих водогосподарчих об’єктів (іригаційні системи, водопроводи, греблі, канали) передували певні гідравлічні дослідження. Її істотною особливістю є дуже тісний зв’язок з практикою, яка ставила все нові і нові задачі, тим самим визначаючи наукові напрямки. А оскільки вказані задачі з фізичної точки зору були надзвичайно складними, то залишався єдиний шлях їх реалізації – застосування фізичного моделювання і проведення експериментів або в натурних, або в лабораторних умовах. Накопичена значна за обсягом і змістом емпірична інформація дозволила перейти до узагальнень, що стимулювало проведення поглиблених теоретичних досліджень. Їх основи були закладені ще в XVIII, XIX сторіччях, коли було одержано фундаментальні рівняння гідродинаміки для ідеальної і в’язкої рідин (Д.Бернуллі, Л.Ейлер, Л.Нав’є, Г.Стокс). Надалі бурхливий розвиток гідравліки вже відбувався завдяки широкому застосуванню і експериментальних, і теоретичних методів дослідження. Вагомий внесок в гідравліку і суміжну з нею теоретичну гідромеханіку зробили і зарубіжні вчені (О.Рейнольдс, Л.Прандтль, Г.Дарсі, А.Шезі, Д.Вентурі) і російські, радянські (А.Д.Альтшуль, Ю.Вейсбах, Н.Є.Жуковський, Н.Н.Павловський, Р.Р.Чугаєв, Д.В.Штеренліхт, Я.Полубарінова-Кочіна, І.І.Леві, М.П.Петров). На Україні плідно працювали і активно продовжують займатися гідравлічними дослідженнями В.А.Большаков, А.Ф.Дмитрієв, І.І.Науменко, В.В.Смислов, Г.І.Сухомел, М.М.Хлапук, І.А.Шеренков, О.М.Яхно, вчені кафедри гідравліки і водовідведення – завідувач О.Я.Олійник, Ю.М.Константінов, А.М.Кравчук. 1. ОСНОВНІ ФІЗИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ РІДИНИ І ОДИНИЦІ ЇХ ВИМІРЮВАННЯ 1.1. Поняття рідини і газу Всі речовини, що нас оточують, мають молекулярну будову і відносяться до трьох типів фізичних тіл, а саме тверді тіла, рідини, гази. В курсі «Технічна механіка рідини і газу» (також широко вживається назва «Гідравліка») вивчають два з них - рідини і гази. Вони мають багато спільних фізичних властивостей і тому часто для них використовують єдиний термін - «рідина». Але якщо виникає потреба врахувати якісь особливі властивості, які характерні саме для рідин або газів, наприклад, значну стисливість газів, то використовують терміни «краплинна рідина» і «газ». Рідини містять надзвичайно велику кількість молекул – в води є приблизно молекул. Але характер руху молекул в твердих, рідинних і газових середовищах суттєво відрізняється. Взаємодія між молекулами в рідині значно слабша. Через це молекули тут можуть, як правило, легко переміщатися, чим і зумовлена перша фундаментальна властивість рідини - плинність. На практиці вона виражається в тому, що рідини завжди приймають форму ємності, в якій вони знаходяться. Елементарною частинкою рідини вважають певний, але дуже малий її об'єм. Завдяки цьому така частинка з одного боку містить дуже багато молекул, а з іншого має розміри, що значно менші, ніж розміри всього об'єму рідини. Взагалі ж реальні рідини складаються з великої множини подібних часток. В сукупності всі вони утворюють суцільне середовище - без пустот і інтервалів. А через свою дрібність дають право описувати фізичні властивості рідини спеціальними неперервними в часі і просторі функціями-характеристиками. Об’єм краплинних рідин завдяки сильній міжмолекулярній взаємодії і слабкій залежності їх густини від тиску і температури майже не змінюється. Найчастіше доступний цим рідинам простір має більший об’єм і тому вони займають тільки його частину з утворенням вільної поверхні. Навпаки, гази через значно більшу відстань між молекулами і, як наслідок, меншу взаємодію між ними розподіляються практично рівномірно по всьому такому об’єму. 1.2. Густина і питома вага рідини Однією з найважливіших характеристик рідини є густина , яка звичайно визначається таким чином , (1.1) де - маса рідини, яка займає об'єм . Але якщо густина рідини змінюється в межах об'єму , то тоді потрібно визначити густину як функцію від просторових координат . Для цього знаходиться в довільній точці простору з координатами за допомогою граничного математичного виразу (1.2) де –маса малого об'єму , який обов'язково вміщує дану точку. Вираз (I-2) є математичною абстракцією. З фізичної точки зору треба розуміти як середню густину рідини в певному малому об'ємі, де знаходиться фіксована точка з координатами . Щоб одержати вичерпну інформацію про розподіл маси рідини в даному об’ємі, подібну операцію граничного переходу потрібно повторити для кожної його точки і побудувати врешті неперервну функцію , яка має область визначення . Густину газів при відносно невеликих температурах і тисках можна визначати з рівняння Клапейрона-Менделеєва , (1.3) де - тиск, ; - - питома газова стала, ; - абсолютна температура в кельвінах, . Поряд з густиною в гідравліці широко використовується питома вага , яка дорівнює , (1.4) де - вага рідини в об’ємі . Враховуючи (1.1) і визначення сили тяжіння , (1.5) отримаємо такий зв’язок з . , (1.6) де - прискорення земного тяжіння. 1.3. Пружність і стисливість Реальні рідини є пружними і стисливими. Визначення. Пружність - це здатність рідини відновлювати свій об'єм після припинення дії зовнішніх сил. Визначення. Стисливість - це властивість рідини змінювати свій об'єм під дією зовнішніх сил. Краплинні рідини на відміну від газів є мало стисливими. Наприклад, стисливість повітря в разів більше, ніж стисливість води. Взагалі значення густини краплинних рідин при зміні тиску і температури в широких діапазонах їх значень можна визначати за простими формулами , (1.7) , (1.8) де , , - стандартні (початкові) значення відповідних характеристик, - коефіцієнт об’ємного стиснення, - температурний коефіцієнт об’ємного розширення. Саме лінійність залежностей (1.7), (1.8) при значній зміні , , а також малість коефіцієнтів , (для води , ) свідчать про слабкий вплив вказаних характеристик на густину рідини. У випадку ідеальних газів, коли відсутні сили міжмолекулярної взаємодії (такими можна вважати повітря, природний газ тощо), їх механічний і термодинамічний стан замість (1.7), (1.8) описується рівнянням (1.3). Реальні рідини завдяки наявності в них домішок і бульбашок газу не чинять опору зусиллям, що розтягують. 1.4. В’язкість Інша фундаментальна властивість рідини – її здатність чинити опір дії внутрішніх сил, що спричиняють цей рух. Це в’язкість, яка в фізичному сенсі протилежна плинності. В’язкість проявляється при відносному переміщенні шарів рідини, що обумовлено присутністю границь, які обмежують її рух, зокрема, стінок, перешкод тощо. рис.1. Схема до закону внутрішнього тертя в рідинах рис.2. Залежність динамічної в’язкості від температури води Наприклад, пристінний шар рідини, який рухається вздовж стінки, прилипає до неї (є нерухомим навіть у випадку розріджених газів), але з віддаленням від стінки швидкість рідини різко зростає (рис.1) і є таким чином функцією від відстані до неї. Внаслідок цього на границях (умовних) між сусідніми шарами виникає тертя. Відповідні сили внутрішнього тертя і є силами в'язкості, а основний закон механіки рідини (закон в'язкого тертя Ньютона), який встановлено емпіричним шляхом, має при горизонтальному русі наступний вигляд (1.9) де - дотична напруга (питома сила опору, тобто сила, що припадає на одиницю граничної площі між шарами); - динамічна в’язкість, - характеризує інтенсивність зміни швидкості поперек потоку рідини. Поряд з динамічною в’язкістю (в літературі також вживаються терміни «динамічний коефіцієнт в’язкості» або «в’язкість») в гідравлічних розрахунках, зокрема при визначенні режимів руху рідини, використовується кінематична в’язкість , яка виражається через наступним чином . Кожна рідина характеризується певними значеннями цих коефіцієнтів, які наводяться в довідковій літературі. Їх величини для краплинних рідин майже не залежать від тиску, але суттєво залежать від температури. Динамічну в’язкість газів пропонується визначати за емпіричною формулою Саттерленда , (1.10) де , - константи, які для кожного газу мають властиві йому значення (для повітря , ), а води за формулою Пуазейля , (1.11) де , вимірюється в градусах Кельвіна, . Також на (рис.2) показано кінематичну вязкість як функцію від для води і повітря. Ньютонівськими (справедливий закон (1.9)) є більшість краплинних рідин і розчинів, а також всі гази. Разом з цим сучасні синтетичні матеріали, які широко застосовуються в машинобудівній, текстильній, харчовій і інших галузях промісловості, проміжні і кінцеві продукти новітніх технологій виробництва дають численні приклади неньютонівських рідин (рідкі полімери, що дозволяють зменшувати витрати енергії в трубопроводах; стічні грязі; глинисті і цементні розчини; масляні фарби; рідкі смоли тощо), у яких зв’язок між і приймає інші форми. Всі реальні рідини є в'язкими, але ця властивість не проявляється згідно з (1.9) у двох випадках. Пo-перше, рідина нерухома і , по-друге, рідина рухається як тверде тіло і На практиці трапляються випадки, коли вплив в'язкості є суттєвим тільки біля віддалених границь і тоді доцільно застосовувати моделі ідеальної рідини (нев'язкої). Нехтування ж в'язкістю дозволяє розв'язати ряд дуже складних технічних задач. 1.5. Сили в рідині Сили внутрішнього тертя відносяться до типу поверхневих сил. Їх також називають силами опору і проявляються вони тільки при русі рідини. Також до поверхневих сил відносять сили тиску, які діють по нормалі до будь-якої площадки (уявної або дійсної) в нерухомій або рухомій рідині (уявної або дійсної). Поряд з поверхневими на рідину завжди діють масові сили. Ці сили пропорційні до маси елемента рідини, на який вони діють. Найбільш поширеною є сила ваги (1.5), а крім того, досить часто зустрічаються такі масові сили, як інерційніні, відцентрові, електричні та інші. 1.6. Одиниці вимірювання механічних величин Основними фізичними величинами в механіці є маса, час і довжина. Їх розмірність зазвичай узагальнено позначається . В універсальній системі вони вимірюються кілограмами , секундами і метрами відповідно. Разом з цим в механіці широко вживаються похідні величини. Головними з них є швидкість, прискорення, сила, тиск, енергія. Будемо їх позначати Вони вже вимірюються комплексами базових розмірних величин, а саме, в системі Деякі похідні величини в системі мають спеціальні назви, а саме: одиницю сили також називають ньютоном , тиску – паскалем енергії - джоулем Оскільки характерні сили і тиски в багатьох гідравлічних задачах дорівнюють тисячам і десяткам тисяч відповідних одиниць (наприклад, стандартний атмосферний тиск становить ), то також використовують кілоньютони , кілопаскалі , а інколи і мегапаскалі . Якщо виникає потреба врахувати вплив теплових умов в рідині і оточуючому середовищі на механічні величини, то також залучають основну термодинамічну величину - температуру, яка вимірюється в градусах Кельвіна, , а в деяких випадках - градусах Цельсія, . Крім цього, в гідравліці традиційно використовуються деякі несистемні величини, насамперед, це технічна атмосфера ( ), метри водного і міліметри ртутного стовпа. При їх застосуванні в гідравлічних задачах, потрібно переходити до системних, застосовуючи відповідні перевідні коефіцієнти, наприклад, . 2. ГІДРОСТАТИКA 2.1. Гідростатичний тиск і його властивості Дві частини одного об'єму рідини, які утворюються при умовному його перетині довільно орієнтованою площиною, взаємодіють на молекулярному рівні (рис.2.1). Сили взаємодії між обома частинами однакові за величиною, але мають протилежні напрямки. На малу площадку з площею , яка розташована в площині перетину і належить до однієї частини (на рис.2.1 до нижньої), з боку іншої буде діяти мала частина , а саме, . Гідростатичний тиск визначають як граничне значення наступного відношення або (2.1) У практичних розрахунках часто використовують значення середнього гідростатичного тиску (2.2) рис.2.1. Схема до визначення гідростатичного тиску де - нормальна сила, що діє на площину . За фізичним змістом є напруженням (питомою або на одиницю площі силою), яке у нерухомій рідині зумовлене стискаючими силами. Гідростатичний тиск має дві головні властивості. 1. Гідростатичний тиск, що діє на довільну площадку в рідині, є нормальним до неї і спрямований через виключно стискаючі зусилля по внутрішній нормалі. Дійсно, якби вказаний тиск діяв не по нормалі, то у нього з'явилася б дотична складова, що обов'язково викликало б рух рідини. 2. У будь-якій точці рідини величина гідростатичного тиску не залежить від орієнтації площадки, на яку він діє. Звідси випливає, що величина (модуль) гідростатичного тиску залежить тільки від просторових координат. Це є тиск, який являє собою скалярну характеристику . Остання функція вичерпно характеризує напружений стан нерухомої рідини. 2.2. Абсолютний, манометричний і вакуумметричний тиски. В гідравліці поряд з абсолютним тиском, який характеризує фактичний напружений стан в рідині, широко використовуються відносні тиски - манометричний (надлишковий) і вакуумметричний. Визначення. Манометричним тиском називають перевищення абсолютним тиском атмосферного . (2.3) Манометричний тиск на вільній поверхні у відкритих водоймах, водотоках, гідротехнічних спорудах згідно з (2.3) дорівнює . Використовується у випадках, коли абсолютний тиск на гідравлічному об'єкті перевищує атмосферний. Для нього фізично обумовлених обмежень зверху не існує. Для практичних цілей значний інтерес становить визначення саме манометричного тиску, а не абсолютного, оскільки на стінки резервуарів, інженерних конструкцій, гідротехнічних споруд часто з одного боку діє атмосферний тиск, а з другого - тиск рідини, в якому в якості складової присутній і атмосферний тиск. Якщо абсолютний тиск в рідині менше атмосферного, то напружений стан рідини доцільно характеризувати ступінню її розрідження (вакуумом). Для цього використовується вакуумметричний тиск . (2.4) Максимально можливий вакуум у відповідності з (2.4) дорівнює атмосферному і буде спостерігатися, якщо . Великий вакуум у гідравлічних системах є небажаним, бо може призвести до суттєвого зниження їх ефективності через втрату суцільності рідини. З тисками тісно пов'язані інші гідравлічні характеристики (висоти тиску, напори), які широко використовуються в інженерних розрахунках. По-перше, це висота (абсолютного) тиску, що має розмірність довжини, . (2.5) Визначивши з (2.5) кількість одиниць довжини, додатково вказують вид рідини, густину якої тут використали, наприклад, міліметри ртутного або метри водного стовпа. П'єзометрична і вакуумметрична висоти визначаються як , (2.6) Манометричний тиск вимірюється з допомогою п'єзометра - відкритої трубки з поділками, що приєднується у відповідному місці рідини, або манометрів різних конструкцій (пружинні, рідинні, діафрагмові). 2.3. Рівняння Ейлера в диференціальній формі Рівновага рідини зумовлена балансом поверхневих і масових сил. В нерухомій рідині з поверхневих діє тільки сила тиску, а масових сил може бути декілька. Вичерпно описує стан рівноваги нерухомої рідини система диференціальних рівнянь Ейлера. Ця система встановлює зв'язок в диференціальній формі між проекціями масових сил на осі декартової системи координат , , , проекціями сили тиску на ці ж осі і має вигляд , , , (2.7) Тут , , є питомими величинами (масові сили віднесені до одиниці маси). Згідно з другим законом Ньютона вони вимірюються в одиницях прискорення. Найчастіше система (2.7) використовується для знаходження основної гідростатичної характеристики - тиску як функції просторових координат. Інтегрування рівнянь (2.7) дозволяє отримати ряд формул, зробити висновки, які мають велике практичне значення, зокрема одним з корисних наслідків (2.7) є диференціальне рівняння для поверхонь рівного тиску (2.8) Вільна поверхня є характерним прикладом такої поверхні, оскільки вона межує з газовим середовищем, де тиск майже не залежить від висоти. 2.4. Основне рівняння гідростатики Найважливішим наслідком рівнянь Ейлера є рівняння рівноваги нерухомої рідини, яка знаходиться під дією тільки однієї масової сили - сили тяжіння . Воно знайшло дуже широке застосування в задачах гідростатики. Отримано це рівняння шляхом інтегрування рівнянь Ейлера (2.7) і має вигляд (2.9) де - координата або відмітка точки (над поверхнею порівняння). Безпосередньому використанню рівняння (2.9) в інженерних розрахунках заважає невизначеність константи. З рівняння (2.9) випливає, що для всіх точок в рідині суми відповідних висоти тиску і відмітки дорівнюють одній сталій величині, яка потребує додаткового визначення. Також з рівняння (2.9) можна зробити висновок, що поверхнями рівного тиску будуть горизонтальні поверхні. Воно допускає тлумачення з енергетичної точки зору, а саме, свідчить про незмінність потенціальної енергії нерухомої рідини. Перша його складова характеризує потенціальну енергію (питому) за рахунок гідростатичного тиску, а друга - за рахунок положення. Рівняння (2.9) справедливе тільки в однорідній рідині. Коли в ємності знаходяться дві рідини, що не перемішуються, тоді для кожної з них слід застосовувати окреме основне рівняння гідростатики (вони будуть відрізнятися константами і густинами). Якщо в рівнянні (2.9) замість абсолютного тиску використати манометричний і ввести п'єзометричний напір , то воно набуває вигляду . (2.10) Формальне врахування стисливості у випадку ізотермічного (при сталій температурі середовища) закону зміни стану газу і його ідеальності призводить до основного рівняння газостатики. Порівняння останнього з рівнянням (2.10) свідчить про несуттєвість стисливості в інженерних задачах гідростатики. Зокрема, похибка при визначенні тиску у повітряному стовпі складає приблизно при зміні висоти на . 2.5. Зміна тиску з глибиною рис.2.2. Схема до визначення тиску в рідині на довільній глибині Щоб встановити заздалегідь невідому константу в рівнянні (2.9), необхідно знати тиск на певному рівні. Для визначеності будемо вважати, що на рівні з відміткою тиск відомий і становить (рис.2.2.). Тоді шукана константа дорівнює і має місце рівність (2.11) Звідси отримуємо, що тиск змінюється по висоті таким чином (2.12) де – глибина занурення точки з тиском . У випадку краплинної рідини звичайно відомий тиск на вільній поверхні, який становить . Тоді з (2.12) випливає, що . (2.13) У випадку газів вільна поверхня відсутня і стандартний рівень з відміткою може знаходитися будь-де, а точка з відміткою з шуканим тиском розташовується або вище, або нижче цього рівня. Як наслідок, рівняння (2.12) набуває вигляду , (2.14) де знак «–» означає, що точка розташована вище стандартного рівня (наприклад, тиск при підйомі в атмосфері або в газовому стояку поступово зменшується). В рідинах, які не перемішуються, тиск змінюється за лінійним законом, але кути похилу ліній зміни тиску в них будуть різними. При їх визначенні слід врахувати, що при переході з однієї рідини в іншу тиск змінюється поступово (на границі рідин стрибка тиску немає). 2.6. Закон Паскаля і гідравлічний прес Визначення. Зовнішній тиск , що обумовлений дією на рідину зовнішньої сили, передається в усі точки рідини без змін. Згідно з (2.12), якщо зовнішня сила викликає зміну тиску на певну величину , то саме на таку величину зміниться тиск в усіх точках даної рідини. Цей висновок справедливий і для двох рідин, що не перемішуються. На законі Паскаля базується принцип дії деяких гідравлічних пристроїв - гідравлічного пресу, гідравлічного мультиплікатора та інших. В усіх цих машинах створюється тиск, який значно перевищує тиск від ваги рідини. У гідравлічному пресі основними робочими елементами є два циліндри з поршнями діаметрами і (рис.2.3). Якщо у малому циліндрі на поршень діє сила , то під цим поршнем утвориться тиск , який згідно з законом Паскаля передається до другого поршня. рис.2. 3 Схема гідравлічного пресу При цьому сила , що буде на нього діяти, дорівнює . (2.15) Збільшуючи площу другого циліндра можна значно виграти в силі. Оскільки поршні труться об стінки циліндрів, фактична сила буде трохи меншою ніж згідно з (2.15). Це можна врахувати введенням коефіцієнту корисної дії пресу . 2.7. Сила тиску на плоску стінку Визначення сили тиску рідини на плоскі поверхні (стінки, кришки, заглушки) має велике практичне значення. Рідина тисне на поверхню з площиною (рис.2.4) в усіх точках, але тиск не буде рівномірним по висоті - у верхніх точках він буде найменшим і лінійно збільшуватися з глибиною. Рис.2.4. Схема до визначення сили тиску і координат центру тиску Розраховується сила тиску на площину по формулі (2.16) де - манометричний тиск на поверхні рідини, - глибина занурення центру ваги (геометричного центру) площини з площею - тиск у центрі ваги (центр ваги знаходиться в точці ). Якщо на вільній поверхні рідини абсолютний тиск дорівнює атмосферному, і значить манометричний - нулю, то сила тиску . (2.17) Визначення. Сила тиску на плоску стінку визначається як тиск у центрі її ваги, помножений на площу (змоченої) поверхні. Саме ці фактори, а не кількість рідини контролюють силу тиску. Спрямована вона по нормалі до стінки (площини) і прикладається в центрі тиску. Положення (координати) центру тиску (точка на рис.2.4) потрібно знати при розрахунках різноманітних споруд. Для цього достатньо обчислити значення . Тут слід використати принцип, згідно з яким момент рівнодійної сили (сили тиску) дорівнює алгебраїчній сумі моментів складових (елементарних) сил. Врешті формула для набуває вигляду (2.18) де - відстань від центру ваги до п’єзометричної поверхні вздовж площини стінки, - центральний момент інерції (момент інерції відносно осі, яка проходить через центр ваги плоскої стінки). Значення для поверхні поверхні круглої форми становить ( - її діаметр), а прямокутної ( -ширина поверхні, - її висота). Нарешті, у випадку вертикальної стінки, що обмежує відкритий резервуар з рівнем води , , знаходиться на глибині . Завжди центр тиску знаходиться нижче центру ваги (виключенням є випадок горизонтальної стінки, коли вони будуть на одній глибині). 2.8. Сила тиску на криволінійну поверхню. Тіло тиску. У загальному випадку поверхні, що занурені у воду, мають криволінійну форму і заздалегідь не відомі напрям дії сили тиску на неї і точка прикладення. Елементарні сили тиску лишаються перпендикулярними до відповідних площадок, але не паралельні між собою і для складних форм поверхні визначити вказані напрям і точку дуже важко. Тому метою розрахунків стають уже складові шуканої сили тиску на поверхню , а саме , , , що являють собою проекції сили на осі , , . Перш за все, криволінійна поверхня проектується на координатні площини і , де утворюються плоскі геометричні фігури з площами , . Якщо глибина занурення їх центрів ваги відносно п’єзометричної поверхні (знаходиться від вільної поверхні на відстані - манометричний тиск на цій поверхні) становить , то компоненти , , обчислюються за формулами , (2.19) , (2.20) які побудовані з тих же міркувань, що застосовувалися і при виведенні формули (2.17). Таким чином горизонтальні складові сили надлишкового тиску , , дорівнюють силам тиску на вертикальні проекції криволінійної поверхні, що розташовані у відповідних координатних площинах. Для визначення вертикальної проекції розрахункова формула має вигляд , (2.21) де об'єм називається тілом тиску. Визначення. Тіло тиску - це об'єм, який обмежений криволінійною поверхнею, вертикальними поверхнями, що проходять через кінці даної криволінійної поверхні, і п'єзометричною площиною. При побудові тіла тиску використовуються наступні принципи. - Тіло тиску має знак «+», або «-» в залежності від наявності або відсутності у ньому рідини. Знак «+» означає, що рідина заповнює тіло тиску (дійсне тіло), тисне на поверхню зверху і тому компонента буде спрямована вниз. Тіло тиску, яке не заповнене рідиною, вважається фіктивним. - У випадку складної форми криволінійної поверхні її доцільно умовно розділити на фрагменти. Тіла тисків для окремих фрагментів визначаються незалежно, а фактичне тіло знаходиться як їх алгебраїчна сума. - Якщо поверхня знаходиться одночасно під дією двох рідин (з різних боків), то вплив цих рідин розглядається окремо і незалежно (і відповідним чином будуються тіла тиску), а потім знову ж таки знаходиться алгебраїчна сума всіх частинних тіл тиску. Величина рівнодійної сили тиску тоді буде дорівнювати . (2.22) Споруди, що використовуються у водогосподарчій практиці, часто мають конструктивні елементи циліндричної і сферичної форми. Для таких поверхонь визначення величини і особливо положення центру тиску суттєво спрощується. Зокрема, якщо криволінійна поверхня є циліндричною, а вісь розташувати паралельно твірній поверхні, то , (2.23) де вже буде питомою силою, що припадає на одиницю довжини поверхні в напрямку . Спрямування рівнодійної такої сили тиску характеризується кутом її нахилу до горизонту . (2.24) Якщо ж твірна циліндричної поверхні в основі циліндра описує коло, то рівнодійна пройде через центр кола, тому що вона нормальна до дотичної в точці прикладання. 2.9. Закон Архімеда і умови плавання тіл Складені в попередньому розділі залежності (2.19), (2.20), (2.21) дозволяють легко довести закон Архімеда. Неважко переконатися з (2.19), що складові проекції сили тиску і , але (рис.2.5). рис.2.5. Схема до закону Архімеда Якщо уявно розрізати тіло горизонтальною площиною на верхню і нижню частини, то на поверхню діє тиск рідини, що знаходиться в призмі (дійсне тіло тиску). Результуюча сила цього тиску спрямована вниз і дорівнює . (2.25) На нижню частину діє тиск умовної рідини, яка могла б знаходитися у призмі (фіктивне тіло тиску). Результуюча сила цього тиску спрямована вверх і дорівнює . (2.26) Рівнодіюча цих вертикальних сил , (2.27) де - кількісно об'єм тіла, що занурене в воду, і має знак «-». Таким чином вона спрямована вверх. Визначення. На занурене в рідину тіло діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини, що витіснена ним. Формула (2.27) дозволяє визначати також виштовхувальну силу і у випадку, коли тіло занурене в рідину частково, сформулювати умови плавання тіл довільної форми. Залежно від співвідношення між вагою тіла і силою можливі три випадки: 1. - тіло потоне. 2. - тіло плаває в зануреному стані. 3. - тіло спливає, причому об'єм частини тіла, що залишається зануреною, визначається за формулою , (2.28) де , - щільність тіла і густина рідини, - об'єм тіла. 3. ГІДРОДИНАМІКА 3.1 Види руху рідини. Поняття про лінії течії, елементарну струминку, потік Визначення. Гідродинаміка - це розділ гідравліки, який вивчає закони руху рідини і методи використання цих законів для розв'язання технічних задач. У гідродинаміці використовують моделі ідеальної (нев'язкої) та реальної (в'язкої) рідини. Якщо в'язкість справляє взагалі малий вплив на гідродинамічні характеристики (швидкість, тиск) або цей вплив суттєвий тільки в малій частині області руху, то доцільно використовувати значно простіші з формальної точки зору моделі ідеальної рідини. При необхідності їх можливо уточнити з врахуванням в'язкості. У гідравліці розв'язують внутрішні задачі - про течію рідини в трубах, каналах і спорудах, а також зовнішні - про обтікання тіл рідиною або про рух тіла в рідині (осадження дисперсних домішок, течія навколо окремих перешкод або крізь їх системи). Розрізняють неусталений і усталений види руху. Визначення. Неусталеним називають рух, при якому швидкість рідини і гідродинамічний тиск в фіксованих точках рідинного простору змінюються з часом (наповнення водосховищ і резервуарів, гідравлічний удар тощо). При усталеному русі вказані характеристики можуть змінюватися тільки в просторі, але не з часом. Усталений рух буває рівномірний і нерівномірний. При рівномірному русі розподіл швидкості і тиску при постійній формі і розмірах живого перерізу (визначення далі) не змінюється вздовж шляху рідини (течія в круглих трубах, каналах з постійною глибиною води). При нерівномірному русі швидкість і тиск змінюються вздовж шляху (течія в ріках). Наочне уявлення про те, як тече рідина в області руху, здатні дати лінії течії. Визначення. Лінія течії є уявною геометричною лінією, в усіх точках якої в певний момент часу вектори швидкості збігаються з дотичними до лінії в цих точках (рис.3.1). рис.3.1. Схема до визначення лінії течії. При сталому русі лінія течії збігається з траєкторією руху частинки рідини. Формально лінія течії в тривиміровому просторі описується диференціальним рівнянням , (3.1) де - проекції на осі прямокутної системи координат вектора місцевої швидкості, тобто швидкості в певній точці рідинного середовища. Взагалі нескінчена сукупність ліній течії дозволяє визначити напрям руху в будь-якій точці області руху, а сукупність ліній течії, що проходить крізь нескінченно малий замкнений контур, утворює особливу поверхню - трубку течії. Визначення. Рідина, що рухається в середині трубки, називається елементарною струминкою. Остання має такі властивості: - оскільки поперечні перерізи трубки течії дуже малі, то в усіх точках будь-якого перерізу місцеві швидкості частинок рідини і тиски можна вважати однаковими; - уздовж елементарної струминки місцеві швидкості і тиски можуть змінюватися; - за одиницю часу через будь який переріз струминки протікає однакова маса рідини. Взагалі абстрактне поняття елементарної струминки на відміну від лінії течії має вже безпосередньо практичне значення (течія в капілярах, трубка Піто), а разом з цим є основою для введення в інженерну гідродинаміку ключового узагальнюючого поняття - потоку рідини. Формально такий потік утворююється нескінченою кількістю елементарних струминок. Визначення. Потік - це рухома маса рідини, що обмежена жорсткими стінками і вільними поверхнями. Потік має скінчені розміри. Для його характеристики важливе значення має поняття живого перерізу. Визначення. Живий переріз - поверхня, в усіх точках якої лінії течії є нормальними до неї. Потік характеризується об'ємною (масовою) витратою і середньою швидкістю. Визначення. Об'ємна (масова) витрата потоку рідини – це її об'єм (маса), що протікає за одиницю часу через живий переріз. Оскільки надалі буде розглядатися переважно об’ємна витрата, то в таких випадка означення «об’ємна» опускатиметься. Визначення. Середня швидкість - умовна швидкість, однакова для всіх точок живого перерізу, при якій через цей переріз проходить та ж витрата, що і при дійсних швидкостях. Якщо об’ємна витрата рідини в живому перерізі площею становить , то середня швидкість визначається як . (3.2) Очевидно, що у випадку плоского круглого живого перерізу діаметром . (3.3) Принципова відмінність місцевої швидкості від середньої полягає в тому, що перша суттєво змінюється вздовж будь- якого перерізу потоку, а друга згідно з (3.2) для кожного перерізу має відповідне значення. Оскільки ж середня швидкість однозначно повязана з витратою потоку, то з практичної точки зору її слід вважати основною кінематичною характеристикою.Використання середньої швидкості не впливає на точність визначення витрати потоку рідини, але суттєво полегшує кількісний аналіз її руху. В гідравлічних дослідженнях і розрахунках особливо безнапорного руху рідин широко вживаються поняття змоченого периметра і гідравлічного радіуса. Визначення. Змочений периметр – це частина живого периметра потоку, яка безпосередньо стикається з твердими стінками. Визначення. Гідравлічним радіусом є відношення площі живого перерізу до змоченого периметра. Часто він використовується в якості масштабу довжини в задачах з потоками, живий переріз яких має відмінну від кругової форму, вільну поверхню. 3.2 Рівняння нерозривності для струминки і потоку Рівняння нерозривності дають формальне представлення закону збереження маси рідини. Їх виконання гарантує рух рідини без утворення порожнин. рис.3.2. Схема струминки рідини Для елементарної струминки (рис.3.2) рівняння нерозривності з врахуванням зміни густини рідини має вигляд , (3.4) де , - густина і місцева швидкість в -му перерізі, - площа -го перерізу ( ). Таким чином рівняння (3.4) вказує на незмінність елементарної масової витрати для струминки і тоді з (3.4) випливає . (3.5) Для потоку рідини, якщо між двома його живими перерізами рідина не притікає і не витікає (рис.3.3), рівняння нерозривності набуває вигляду , (3.6) де , - середня швидкість в - му перерізі; - його площа. У практиці водопостачання поширені випадки, коли частина витрати рідини по ходу її руху забирається. Такий відбір може мати зосереджений або розподілений вздовж її шляху характер. Тоді рівняння (3.6) потребує узагальнення. Оскільки потік рідини формується, строго кажучи, з безлічі елементарних струминок, то його витрата складається з такої ж кількості елементарних витрат. Таким чином масову витрату потоку можна визначити інтегруванням виразу (3.5) в межах будь якого живого перерізу. Виконати таку математичну операцію можливо, якщо відомий розподіл місцевих швидкостей у вказаному перерізі або, іншими словами, відома місцева швидкість як функція від в загальному випадку криволінійних координат (криволінійний живий переріз). В більш простому випадку плоского живого перерізу залежить від якщо рух відбувається вздовж осі і визначається подвійним інтегруванням вздовж осей , . Нарешті в найпростішій ситуації вісесиметричної течії маємо і зручно виразити через радіус . Тоді шукані масова і об’ємна витрати складуть , , де - радіус границі потоку. рис.3.3. Схема потоку рідини 3.3. Поняття про рівняння Д.Бернуллі і загальні вказівки до його практичного застосування. Рівняння Бернуллі є ключовим рівнянням механіки рідини і газу, яке широко використовується в дослідженнях і розрахунках рухомих рідин, а при відповідному узагальненні і їх впливу на оточуюче середовище, внутрішні сторонні об’єкти. Його теоретичною основою є інтеграл Бернуллі, що являє собою один з точних розв’язків базової в гідродинаміці ідеальних рідин системи диференціальних рівнянь руху Ейлера. З фізичної точки зору цей інтеграл виражає незмінність механічної енергії нев’язкої рідини вздовж її шляху. Таким чином він є формальним представленням закону збереження повної (суми потенціальної і кінетичної) механічної енергії рідин, якій, однак, не враховує її неминучі втрати через внутрішнє тертя і тому, строго кажучи, не відповідає дійсності. Взагалі слід підкреслити, що в гідравлічних задачах аналізу саме механічної енергії, її балансу, змінам і втратам приділяється особлива увага. Подальша доля цієї енергії після її трансформації в інші види енергії стає предметом вивчення вже фахівців в інших галузях фізики і техніки. Щоб мати змогу ефективно використовувати вищезгаданий інтеграл у водогосподарчій практиці при обгрунтуванні технологій, режимів, параметрів, він був пристосований до реальних умов. Різноманіття властивостей рідини, зовнішніх факторів впливу на них спричинило розробку кількох відмінних форм рівняння Бернуллі, які детально враховують характерні розміри рухомої рідини (струминка, потік), її фізичний стан (краплинна рідини, газ), значимість стисливості (нестислива і стислива рідина), в’язкість (ідеальна і в’язка рідини). Таким чином, всі члени рівняння Бернуллі в будь-якій формі можна трактувати як кількість або зміну питомої механічної енергії певного виду (потенціальна, кінетична). Означення «питома» тут означає, що мова іде про енергію рідини одиничної ваги. В інженерній гідравліці найбільшого поширення набуло рівняння Бернуллі для потоку нестисливої в’язкої рідини. Тому природно, що надалі наводиться досить детальна характеристика і рекомендації до практичного застосування саме цього рівняння. А першим кроком тут є вибір контрольних живих перерізів потоку (струминки). Це дуже важливо, оскільки при невдалому виборі таких перерізів кількість невідомих величин буде переважати кількість вихідних рівнянь (рівняння Бернуллі і нерозривності) і тоді одержати розрахункові формули для відповідної задачі в принципі неможливо. Тому потрібно, щоб в одному з перерізів була повна інформація про гідравлічні характеристики потоку. Найчастіше такими виявляються нерухомі, або майже нерухомі вільні поверхні. Наступний крок полягає у визначенні положення горизонтальної площини порівняння . І хоча вона може бути розташована в довільному місці, краще все ж таки враховувати при цьому положення контрольних перерізів, що дозволить в подальшому скоротити об’єм обчислень. Зокрема, якщо площина пройде через центр одного з перерізів, то відповідну геометричну відмітку слід покласти нулю, а у випадку горизонтального руху рідини і обидві відмітки обертаються в нуль. Якщо заздалегідь неможливо визначити роль в’язких сил у динаміці потоку рідини, то доцільно зробити попередню оцінку втрат напору (енергії) внаслідок внутрішнього тертя для несприятливих умов руху (розвинутий турбулентний режим) і порівняти їх з характерними п’єзометричними або повними напорами. Коли останні значно переважають, то виправдано обмежитися рівнянням Бернуллі для ідеальної рідини. В іншому і більш поширеному випадку необхідно використовувати складне рівняння для потоку в’язкої рідини. Краплинні рідини фактично є нестисливими (густина стала). Стисливість газів починає проявлятися тільки у надшвидких потоках (за існуючими оцінками при ). Такі умови складаються, наприклад, в газопроводах високого тиску, але взагалі вони не є типовими для гідравлічних задач. Тому нижче наводяться основні форми рівняння Бернуллі виключно для нестисливих рідин. 3.4. Рівняння Д.Бернуллі для елементарної струминки Якщо використати першу і другу властивості елементарної струминки і вибрати вздовж неї довільно два перерізи і (рис.3.2), то рівняння Бернуллі у випадку нев’язкої рідини прийме форму (3.7) Кожна складова в рівнянні (3.7) має певний енергетичний зміст. Зокрема, - питома (на одиницю ваги) потенціальна енергія в - му перерізі, - питома потенціальна енергія положення, - питома потенціальна енергія тиску, - питома кінетична енергія, . Фізичний зміст рівняння (3.7) полягає в тому, що для всіх перерізів елементарної струминки сума питомої потенціальної і питомої кінетичної енергії є сталою величиною. Одним з поширених прикладів застосування рівняння (3.7) є гідродинамічна трубка (трубка Піто), яка використовується для вимірювання місцевих швидкостей. Якщо різниця показника цієї трубки і п’єзометра становить , шукана швидкість приблизно дорівнює . Для більш точного визначення потрібно в цей вираз ввести поправочний коефіцієнт, який трохи менше . 3.5 Рівняння Д.Бернуллі для потоку нев’язкої нестисливої рідини Рівняння Бернуллі для потоку нев'язкої нестисливої рідини також виражає закон збереження механічної енергії, що в загальному випадку вимагає (3.8) Вираз (3.8) означає, що в усіх живих перерізах сума питомих потенціальної і кінетичної енергій буде однаковою, і справедливий при умові, що в цих перерізах відбувається плавнозмінний рух, тобто тиск в них змінюється за основним законом гідростатики (розділ 2.4). Якщо рівняння (3.8) застосувати до двох живих перерізів (рис.3.3), то маємо (3.9) Слід мати на увазі, що у вибраних перерізах значення геометричної висоти і висоти тиску потрібно брати в одній будь-якій точці відповідного перерізу, бо для всіх його точок сума є сталою. Питома кінетична енергія виражається величиною , в якій є середньою швидкістю , - коефіцієнт кінетичної енергії, який враховує нерівномірність розподілу швидкостей за перерізом. Його значення у різних випадках змінюється в широких межах (від до ), але, як правило, він дорівнює . Енергетичний зміст рівняння (3.9) такий же як і (3.7). Насправді рівняння (3.9) не відповідає реальним умовам руху рідини в техніці і побуті і найчастіше потребує серйозного уточнення. 3.6. Рівняння Д.Бернуллі для потоку в’язкої нестисливої рідини При русі реальної рідини частина механічної енергії втрачається на подолання сили опору, що діє між живими перерізами і розподілена тут по всьому рідинному середовищу. Вона обумовлена впливом границь потоку і в'язкістю рідини. Таким чином, величина питомої механічної енергії уздовж шляху рідини поступово зменшується і рівняння (3.8), (3.9) вже не відповідають дійсності. Права частина рівняння (3.9) буде обов’язково менше ніж ліва і, щоб відновити рівність, слід врахувати втрати механічної енергії (напору), що відбулися на ділянці між перерізами і . Додавши їх відповідним чином, маємо (3.10) де - втрати питомої механічної енергії між вибраними перерізами. Для виводу рівняння (3.10) розглядається рух потоку нестисливої в’язкої рідини, що нахилений до горизонту під кутом , на нескінченно малій ділянці (рис.3.4). Гідравлічні характеристики елемента потоку, що обмежений живими перерізами , і непроникними стінками, зазнають тут нескінченно малих змін. Якщо в перерізі площею мають місце тиск , середня швидкість , то в перерізі площею будуть , . Також відмітки (центрів) перерізів становлять і . рис.3.4. Схема до виводу рівняння Бернуллі для потоку нев’язкої нестисливої рідини. До виділеного елемента потоку застосовується закон збереження кількості руху, згідно з яким зміна його кількості руху дорівнює сумі імпульсів діючих на нього сил. Такими є сили тиску на вказані перерізи , , поздовжні складові сили реакції з боку стінки (виникають тільки завдяки зміні площі живих перерізів потоку), сила ваги , сила тертя з дотичним напруженням на стінці . Враховуючи напрямки цих сил, вихідне рівняння, що виражає вищезгаданий закон, набуває вигляду . (3.11) Взагалі одинична кількість руху в перерізі площею визначається як , (3.12) де - місцева швидкість, - коефіцієнт кількості руху (для турбулентних течій ). Імпульси перелічених сил за одиницю часу з точністю до малих вищого порядку дорівнюють , (3.13) , (3.14) , (3.15) , (3.16) . (3.17) Тут - зменшення напору між перерізами за рахунок в’язкого тертя; тиски і , строго кажучи, слід відносити до центрів відповідних перерізів; визначається з умов рівномірного руху. Тоді рівняння (3.11), приймаючи до уваги (3.12)-(3.17), стає . (3.18) Зважаючи, що для збереження маси рідини в потоці необхідно, щоб , (3.19) а також поділивши всі члени рівняння (3.18) на , легко одержати рівняння усталеного руху потоку нестисливої в’язкої рідини в диференціальній формі . (3.20) Для практичного використання рівняння (3.20) його, по-перше, потрібно проінтегрувати в напрямку руху рідини на ділянці між контрольними перерізами і , по-друге, при наявності тут локальних опорів додати відповідні місцеві втрати , що врешті і призводить до (3.10). Рівняння (3.10) виражає точний баланс механічної енергії в реальній рідині. Витрачена механічна енергія переходить в теплову енергію і розсіюється в оточуючому середовищі, тобто незворотньо втрачається для потоку. Це так зване явище дисипації енергії. Найчастіше зміни енергії відбуваються поступово, а характер змін визначається конструкцією і умовами роботи гідравлічного об'єкту. Повне уявлення про роботу останнього можна отримати, побудувавши дві спеціальні лінії, а саме, п'єзометричну і напірну. Визначення. П'єзометрична лінія характеризує зміну повної питомої потенціальної енергії або п’єзометричного напору (формула ()) вздовж шляху. Оскільки значення цієї енергії відповідають показанням п'єзометра, то п'єзометричну лінію можна також визначити як лінію, яка з'єднує відмітки п'єзометрів. Похил називають п'єзометричним. Оскільки тиск вздовж руху може і зменшуватися, і збільшуватися, то похил може бути і додатнім, і від'ємним. Визначення. Напірна лінія характеризує зміни повної питомої механічної енергії (гідродинамічного або повного напору ) і з'єднує відмітки гідродинамічного напору. Похил , так званий гідравлічний похил, завжди додатній, оскільки гідродинамічний напір при русі в'язких рідин обов'язково зменшується. В дійсності втрати повного напору у водопровідних трубах мають місце через зменшення п'єзометричного напору. Часто потік утворюється внаслідок витікання рідини із ємності значних розмірів (резервуара) в трубопровід, а її початковий об’єм набагато переважає транспортований за характерний час роботи цієї системи (ємність і трубопровід). Тоді величиною і темпом зниження рівня в ємності можна знехтувати. При побудові ж обох енергетичних ліній (п’єзометрична і напірна) потрібно починати відлік втрат напору з повної початкової потенціальної енергії , яку має рідина в ємності. Виражається ця енергія в одиницях висоти стовпа рідини і становить , (3.21) де - манометричний тиск на поверхні рідини, - висота рівня над поверхнею порівняння. Далі вздовж течії послідовно обчислюються втрати напору, що зосереджені на локальних перешкодах (місцеві втрати), і розподілені на ділянках між ними (по довжині). При витіканні рідини в атмосферу залишок потенціальної енергії дорівнює відмітці центру вихідного перерізу потоку. В загальному випадку зменшення потенціальної енергії частково зумовлено витратами на подолання гідравлічних опорів, а частково трансформацією в кінетичну. Між іншим, в трубах найчастіше перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки пов’язано зі зміною діаметру. При обчисленні напірної лінії у місці раптової зміни розмірів потоку достатньо врахувати відповідний місцевий опір, а при визначенні п’єзометричної лінії треба мати на увазі ще і перерозподіл механічної енергії між її складовими. У випадку послідовного з’єднання труб меншого і більшого діаметрів у місці розширення потоку до потенціальної енергії додається частина кінетичної, що може призвести тут до результуючого збільшення , незважаючи на місцеву втрату напору . Таким чином умовою зростання в такому місці енергії буде . При проектуванні водопровідних, газопровідних мереж широко використовуються поняття середніх гідравлічного і п’єзометричного похилів. Їх визначають як середні зміни відповідної характеристики по довжині потоку. Зокрема, якщо на його ділянці довжиною повний і пєзометричний напори зменшуються від , до , вказані середні величини будуть , . 3.7 Фізична природа опорів Втрати гідродинамічного напору (питомої повної механічної енергії) залежать від швидкості потоку, його форми, розмірів і шорсткості жорстких границь, в'язкості рідини. В'язкість рідини є головною причиною втрат механічної енергії рідини. Ця енергія витрачається на подолання сил тертя (гідравлічних опорів), які виникають в рідині, що рухається. Існують два види втрат напору - по довжині і місцеві. Втрати напору по довжині спричиняються гідравлічними опорами, які неперервно розподілені по довжині потоку і викликані, перш за все, гальмуючим впливом твердої стінки. Якщо геометричні параметри русла і потоку не змінюються в напрямку руху рідини по довжині (рівномірний рух в каналах, трубопроводах), то втрати напору прямо пропорційні довжині ділянки, на якій вони відбуваються. Місцеві втрати напору зумовлені локальними гідравлічними опорами. Ці опори спостерігаються на відносно короткій ділянці потоку у місцях різкої зміни конфігурації і напрямку потоку. У загальному випадку в потоці виникають втрати напору і по довжині, і місцеві. Щоб врахувати сумарний ефект від гідравлічних опорів, слід всі втрати скласти. Разом з цим зустрічаються ситуації, коли гідравлічні опори одного виду значно слабші, ніж другого. Тоді доцільно відповідними втратами напору знехтувати. 3.8 Режими руху рідини. Число Рейнольдса Експериментально встановлено, що рух рідини може відбуваєтися у двох режимах: ламінарному і турбулентному. Визначення. Ламінарним називають режим руху рідини, при якому відсутнє перемішування рідини. Це впорядкований рух, а область руху можна схематично представити, як сукупність шарів, між якими масообмін відсутній. Визначення. Турбулентним називають режим руху, який реалізується з інтенсивним перемішуванням рідини. Вплив внутрішнього масообміну часто враховують шляхом введення в рівняння руху умовної турбулентної в’язкості, яка набагато перевищує звичайну молекулярну. Турбулентний рух є невпорядкованим, так що частинки рідини рухаються хаотично, хоча це, безумовно, не перешкоджає в цілому спрямованій течії рідини. Характеристики потоку в будь-якій його точці змінюються з часом випадковим чином. Закономірні ж зміни характерні тільки для їх осереднених в часі величин. Наприклад, осереднена місцева швидкість в точці з координатами за період [ ] знаходиться шляхом інтегрування миттєвої місцевої швидкості , а саме, , (3.22) а хаотична складова швидкості (пульсація) тоді . На практиці ламінарний режим характерний для руху рідин в капілярних трубках, пористих середовищах. Підвищена в’язкість послаблює збурення в рідині. Як наслідок, ламінарні течії найчастіше мають місце при повільному русі більш в’язкіх рідин (нафта, олія, гліцерин тощо). В системах водопостачання і водовідведення рух відбувається в турбулентному режимі. Характер руху рідини (режим) визначається геометрією об'єкту, швидкістю руху і в'язкістю рідини. Доведено численними експериментами існування певних співвідношень між геометричним параметром (масштабом довжини), швидкістю рідини і кінематичною в'язкістю , за яких відбувається перехід від одного режиму до іншого. Для характеристики режимів руху рідин доцільно використовувати число Рейнольдса (безрозмірне), яке дозволяє кількісно оцінювати відносне значення в'язких сил (стабілізуючий фактор) і сил інерції (дестабілізуючий фактор). При великих значеннях переважають сили інерції і рідина втрачає впорядкованість. Навпаки, при відносно малих домінують сили в'язкості, які заважають перемішуванню рідини. Для круглих труб число буде (3.23) де - середня швидкість у трубі, - її діаметр. Для так званого критичного числа , при якому відбувається зміна режимів руху, в цьому випадку можна приймати значення . У випадку відкритих каналів в якості характерного лінійного розміру замість використовується гідравлічний радіус ( - площа живого перерізу, - довжина змоченої частини периметру), a знаходиться в межах ; в ґрунтах же дорівнює кільком одиницям. Поглиблені дослідження показали, що перехід від одного режиму до іншого при зміні відбувається поступово і існує певна перехідна область. Проте в гідравлічних розрахунках її врахування звичайно є недоцільним. 3.9. Розподіл дотичних напружень і швидкостей в трубах При ламінарному режимі має місце значна нерівномірність розподілу місцевих швидкостей за живим перерізом. Біля стінки рідина прилипає до неї і місцева швидкість . рис.3.5. Епюри швидкості в трубі: 1 - турбулентний режим 2 - ламінарний режим При віддаленні від стінки ця швидкість значно зростає (рис.3.5). У будь-якій точці перерізу труби її можна обчислити за формулою (3.24) де - максимальна швидкість (на осі труби), яка дорівнює ; - дотичне напруження на стінці труби; - радіус труби. Навпаки, дотичні напруження - найбільші на стінці і зменшуються до нуля на осі труби. Їх розподіл за перерізом описується лінійною залежністю . (3.25) При турбулентному режимі дотичні напруження і осереднені місцеві швидкості на віддаленні від стінки вздовж живого перерізу змінюються повільніше, ніж при ламінарному. Зокрема розподіл осереднених швидкостей в центральній частині труби (рис.3.5) рекомендується приймати таким , (3.26) де - динамічна швидкість, - відстань від стінки труби. Взагалі ж область руху в трубі поділяють на дві характерні зони - тонкий в'язкий прошарок, розташований безпосередньо біля її стінок, і турбулентне ядро, для якого і справедлива залежність (3.26). В прошарку через малу швидкість течії рух є ламінарним, а означена швидкість різко зростає від нуля по лінійному закону. 3.10. Втрати напору по довжині. Гідравлічний коефіцієнт тертя Втрати напору по довжині в загальному випадку визначаються за формулою Дарсі-Вейсбаха: (3.27) де - гідравлічний коефіцієнт тертя, - довжина розрахункової ділянки, - характерний розмір. Для круглих труб в якості використовують їх діаметр , для некруглих , каналів – гідравлічний радіус. При ламінарному режимі руху для круглих труб теоретичним шляхом отримано , (3.28) а для некруглих запропоновано емпіричні формули . На початковій ділянці труби відбувається формування епюри швидкостей, за рахунок чого виникають додаткові втрати напору. Знехтувати ними можна, якщо довжина труба При турбулентному режимі руху в трубах виділяють три області гідравлічних опорів. Фізично такий поділ обумовлений різними можливими випадками співвідношення висоти виступів на стінках труби (шорсткість) і товщини в'язкого прошарку . Якщо виступи шорсткості вкриті цим прошарком , то обтікаються вони без утворення вихорів і відривів і, таким чином, не впливають на гідравлічні опори. Це є область гідравлічно гладких труб, верхня границя якої характеризується числом Тут - еквівалентна шорсткість (умовна рівномірна шорсткість, яка в розрахунках забезпечує фактичні значення гідравлічного коефіцієнту тертя і втрат напору).Найбільш поширеною формулою для обчислення коефіцієнту в цій області є формула Блазіуса . (3.29) Область гідравлічно шорстких труб має місце, коли виступи шорсткості виходять за межі в'язкого прошарку і тоді обтікання виступів стає відривним. Спостерігається ця область, якщо . Тут широко вживається формула Б.Л. Шифрінсона . (3.30) У проміжку між вищезгадуваними областями існує третя область –перехідна. В цьому випадку висота виступів шорсткості того ж самого порядку, що і товщина в'язкого прошарку . Для даної області встановлені такі обмеження а розрахункова формула (А.Д. Альтшуль) має вигляд . (3.31) Треба підкреслити, що побудовано і широко використовують в інженерних розрахунках велику кількість подібних до (3.28)-(3.31) формул, оскільки в принципі неможливо створити якісь універсальні залежності навіть для труб через різноманітність умов руху рідини (матеріал, форма, терміни експлуатації тощо). В першому наближенні формулу (3.31) можна вважати узагальнюючою для турбулентного руху в трубах, оскільки з неї випливають як граничні випадки при і формули (3.29) і (3.30). Часто витрата рідини (середня швидкість) у водотоках заздалегідь невідома, що через невизначеність не дозволяє завчасно підібрати підходящу для формулу. Тоді доцільно прийняти a priori найбільш несприятливі для течії рідини гідродинамічні умови (квадратичну область опорів). В такому випадку має місце сильно турбулізована течія , сила опору пропорційна квадрату швидкості і рух відбувається в області гідравлічно шорстких труб. Таким чином коефіцієнт стає незалежним від невідомого числа . Зокрема, для врахування втрат напору по довжині в трубопроводах припустимо використовувати формулу Б.Л.Шифрінсона. Після цього визначення витратної характеристики стає вже можливим. Якщо середня швидкість знайдена, то слід пересвідчитися у правомочності вибору вказаної формули, обчисливши і при необхідності вдруге по формулі, яка відбиває внесок . Якщо уточнене значення відрізняється від попереднього менше, ніж на , то ще раз розраховувати витрату немає сенсу. При більших відмінностях в всі розрахунки потрібно зробити заново, а одержані при цьому результати можна вважати остаточними. Коефіцієнт є ключовим в гідродинаміці, оскільки найчастіше визначає основні втрати напору. Разом з цим його знання дозволяє обчислювати деякі важливі гідравлічні характеристики, зокрема, динамічну швидкість за формулою , а далі епюру місцевих швидкостей в турбулентному ядрі в потоку, згідно з (3.26). 3.11. Місцеві втрати напору. Коефіцієнт місцевих опорів Місцеві опори в трубах і каналах зумовлені багатьма факторами, зокрема, різкою зміною конфігурації потоку (раптове розширення або звуження потоку), течією рідини з поступовою зміною середньої швидкості (конфузори, дифузори), поперечною циркуляцією потоку (поворот потоку), злиттям або поділом потоку (трійники, відгалуження в мережах). Для розрахунку різноманітних місцевих втрат напору запропоновано єдину формулу (Ю.Вейсбах) , (3.32) де - коефіцієнт місцевих опорів, - середня швидкість після місцевого опору. Визначається коефіціент в поодиноких випадках за допомогою теоретичних формул, а найчастіше емпіричним шляхом. Зокрема, для випадку раптового розширення потоку отримано надійну формулу (3.33) де - площі живих перерізів відповідно до і після розширення потоку (в (3.32) приймається середня швидкість потоку після опору, тобто ). Для випадку раптового звуження використовується формула І.Є.Ідельчіка, ефективність якої забезпечується поєднанням результатів теоретичних і експериментальних досліджень, (3.34) де - площі живих перерізів до і після звуження. В інших випадках (кран, вентиль, поворот на різні кути, вхід в трубу тощо) значення треба брати з відповідних таблиць. Як правило, вони відносяться до квадратичної області опорів (сильно турбулізований потік). В останньому розділі ці значення наводяться в умовах задач. Але при менших швидкостях руху рідини і значеннях , які наближаються до критичного, вказані значення потребують уточнення. Рекомендується робити це з допомогою формули (3.35) де значення емпіричного коефіцієнту також слід брати з відповідних таблиць і, наприклад, для крана, вентиля, входу (виходу) в трубу вони становлять , , відповідно. При протіканні рідини через місцеві опори потік і вихідна епюра місцевої швидкості значно деформуються. Відновлює свою форму вказана епюра поступово на певній ділянці (ділянка стабілізації), довжина якої залежить від коефіцієнту . Якщо в трубопроводі є кілька місцевих перешкод, то при його розрахунках втрати напору на окремих місцевих опорах слід додавати. При незначній відстані між опорами фактична сума втрат напору буде меншою через їх взаємодію. Дійсно, потік на ділянці між попереднім (коефіцієнт опору ) і наступним (коефіцієнт опору ) опорами не встигає повністю відновитися. Тому втрати на першому опорі і сумарні зменшуються. Відповідний коефіцієнт зменшення опорів визначається за таблицями або графіками, а узагальнений коефіцієнт місцевого опору обчислюється за формулою , (3.36) де змінюєься від , коли , до , коли опори розташовані поряд. 3.12. Поняття про відносний рух рідини і твердих тіл В практичних задачах рух рідини ускладнюють не тільки прямолінійні або криволінійні зовнішні границі, які спрямовуючи потік, зумовлюють місцеві і розподілені по довжині втрати напору, але і окремі або групи твердих тіл, які розташовані в середині нього. Кількість таких внутрішніх перешкод може налічувати і одиниці, і множину. В останньому випадку численні дрібні частки утворюють тверду фазу, а потік таким чином є двофазним. При взаємодії між рідкою і твердою фазами він вже повинен описуватися подвійним набором характеристик. Для аналізу поведінки твердої фази важливе значення мають її щільність (маса часток у загальному об’ємі) і об’ємна концентрація ( об’єм часток у загальному об’ємі). У природі і водогосподарчій практиці щільність коливається в дуже широких границях. Низькі її значення властиві суспензіям, типовими прикладами яких є стічні води, каламутна вода у придонному шарі водотоків, де рідко перевищує . У гідротранспорті, при водовідведенні (каналізаційний мул) вміст завислих часток може складати вже відсотки. Завдяки трубопроводному транспорту сировина та відходи транспортуються в місця переробки, складування та будівництва з мінімальними затратами енергії і часу. При ще більшій щільності твердої фази посилюється взаємодія між частками, виникають сили зчеплення і можливе утворення більш-менш стійкої структури. Так вже при тверда фаза здатна формувати нерухомий скелет або, іншими словами, пористе середовище. Характерним прикладом такого високопористого середовища є органічні грунти (торфи). Через нерухомість структурних часток (скелета) відносне переміщення фаз тут відбувається тільки завдяки течії рідини у вільному від часток просторі (порах). Виключення складають незв’язні грунти (піски), в яких сили зчеплення відсутні і при облаштуванні дренажів, будівництві земляних гребель і дамб виникає суфозія, тобто мобілізація і перенос більш дрібних часток грунту під дією фільтраційного потоку. Властивості пористих середовищ, особливості руху в них рідин, розрахунок пристроїв і споруд, які управляють фільтраційним процесом, стисло розглядаються у розділі 6. В силу відмінної від рідин фізичної природи завислі частки можуть переміщуватися з меншою швидкістю. В результаті рідка і тверда фази роблять гідродинамічний вплив одна на одну і додатково втрачається механічна енергія. Однією із сторін міжфазної взаємодії є опір, який чинять частки рідині. Фундаментальне значення для його оцінки мають теоретичні і експериментальні дослідження вільного обтікання тіл правильної форми (сфера, циліндр). При цьому було встановлено, що відповідна сила опору викликається, по-перше, тертям рідини об поверхню тіла, по-друге, перепадом тисків перед і за ним. Таким чином, сила опору довільного твердого тіла - це результат сумісної дії сил тиску потоку на його поверхню і сил тертя рідини об неї. При відносній швидкості руху незбуреної рідини і тіла сила розраховується по формулі , (3.37) де - безрозмірний коефіцієнт опору, - площа проекції тіла на перпендикулярну напрямку течії площину (міделевий переріз). Коефіцієнт залежить від числа Рейнольдса, шорсткості поверхні, розмірів і форми тіла і змінюється в значних границях. При обтіканні шару і для отримано вираз . (3.38) Якщо , то другою складовою можна знехтувати і для сили опору сферичної частинки діаметром справедлива формула Стокса . (3.39) На основі балансу сил тяжіння, Архимеда і опору для сферичної частки, яка повільно і рівномірно падає, знайдена її швидкість (гідравлічна крупність) , яка при буде . (3.40) де , - щільність частки і густина рідини. Для надійного визначення і при будь-яких необхідно детальне вивчення тонкого примежового шару. На пластинці довжиною , розташованій уздовж течії, при швидкості набігаючого потоку його товщину можна оцінити наступним чином . Незважаючі на малу величину , він відіграє важливу роль у гідродинаміці реальних в’язких рідин, тому що саме тут ефект в’язкості проявляється в повній мірі, є дуже значним і мають місце основні втрати напору. Зовнішня задача дуже ускладнюється при русі або обтіканні декількох тіл через їх гідродинамічну взаємодію. Із збільшенням щільності і неоднорідності рухомої твердої фази взаємодія між частками посилюється. Коефіцієнт опору тіла можна пов’язати з коефіцієнтами гідравлічних опорів , , якщо трактувати результат впливу твердих часток на рідину як розподілені по довжині або місцеві втрати напору. Нехай площа поперечного перерізу потоку , а відносний рівномірний рух рідини густиною і твердої частки щільністю з площею міделевого перерізу відбувається при рівновазі між силою тяжіння і силами опору і Архимеда. Тоді коефіцієнт місцевого опору буде . При горизонтальному русі рідини і частки тут слід покласти . Якщо потік рідини рухається відносно шару завісі, який характеризується щільністю твердої фази з рівномірно розподіленими поперек і вздовж потоку частками, то гідравлічний коефіцієнт тертя . Тут - коефіцієнт опору частки з врахуванням гідродинамічного впливу інших часток, який можна визначати згідно з С.Ергуном по формулі , (3.41) де , - питома витрата рідини (через поперечний переріз одиничної площі). Формула (3.41) справедлива при зміні від до кількох сотен. При суттєвій відмінності форми часток від сферичної вводиться спеціальний коефіцієнт, який враховує пов’язаний з цим додатковий опір. 4. ВИТІКАННЯ РІДИНИ З ОТВОРІВ І НАСАДОК 4.1. Витікання рідини з малого отвору у тонкій стінці із закритого резервуара Витікання рідини з отвору є складним процесом, який залежить від багатьох фізичніх і геометричних чинників. В основі його розрахунків, як і інших численних гідродинамічних процесів, лежать рівняння Бернуллі і нерозривності для потоку в’язкої нестисливої рідини, а також результати спеціальних експериментів. Витікання може бути усталеним (з постійною витратою) і неусталеним (витрата змінна з часом). Отвори поділяються на малі і великі, що не обов’язково пов’язано з їх розмірами. Визначення. Отвір вважається малим, якщо умови витікання рідини у всіх його точках мало відрізняються. Визначаються ці умови в загальному випадку висотою рівня рідини над отвором (геометричний напір), тисками на вільній поверхні і в оточуючому середовищі (рис.4.1). Підвищений тиск і знижений покращують витікання і навпаки. Для врахування вказаних факторів в комплексі доцільно ввести приведений напір таким чином . В інженерних розрахунках отвір можна розглядати як малий, якщо його вертикальний розмір (висота, діаметр) не перевищує . (Похибка внаслідок невиправданого прийняття отвору малим аналізується далі). Вочевидь і місцеві швидкості в отворі будуть приблизно однакові. Сталі рівень і напір забезпечуються подачею рідини в резервуар з витратою , що дорівнює її витраті крізь отвір . Крім цього , , припустимо приймати постійними, якщо запаси рідини в резервуарі значно переважають її витрату за розрахунковий період. рис.4.1 Схема витікання рідини із закритого резервуара через малий отвір у тонкій стінці. Визначення. Стінка з отвором є тонкою, якщо вона не впливає на умови витікання рідини, наприклад, стінка, краї якої в отворі мають гостру кромку, як показано на рис.4.2. Тоді рідина торкається тільки кромки отвору, що справедливо при такому співвідношенні між товщиною стінки і діаметром отвору . Разом з цим стінка може бути тонкою і при , якщо кромка отвору є гострою, як показано на рис.4.1. При витіканні рідини лінії течії перед отвором, в його межах і за ним непаралельні між собою. Кривизна ліній течії зменшується, а струмінь під дією сил інерції, що виникають внаслідок зміни напрямку руху рідини, суттєво стискається. Таким чином площі живих перерізів тут поступово зменшуються аж до перерізу , де має місце його максимальне стиснення. Це явище суттєво впливає на пропускну здатність отвору, а його степінь характеризується коефіцієнтом стиснення , (4.1) де - площа перерізу струмини у перетині , - площа отвору. Через стиснення потоку в’язкої рідини, яка витікає через малий отвір, спостерігається місцева втрата напору, що характеризується коефіцієнтом відповідного місцевого опору . Ці два фактори (стиснення і місцевий опір) зумовлюють помітне зменшення середньої швидкості витікання в перерізі найбільшого стиснення і значне - витрати рідини . Швидкість з врахуванням зниження вільної поверхні визначається по формулі , (4.2) де - коефіцієнт швидкості (для круглого отвору ), - коефіцієнт кінетичної енергії, - швидкість зниження вільної поверхні. Якщо площа поперечного перетину резервуара значно переважає площу отвору, то швидкісним напором на поверхні води можна знехтувати як величиною малою в порівнянні з іншими членами виразу. Тоді витрата визначається по формулі , (4.3) де - коефіцієнт витрати, який дорівнює (для круглого отвору ). Коефіцієнт швидкості при витіканні ідеальної рідини з отвору дорівнює , оскільки в цьому випадку і . Тому в (4. 3) коефіцієнт швидкості можна інтерпретувати як відношення середньої швидкості витікання рідини до швидкості витікання ідеальної рідини. Коефіцієнт залежить від гідродинамічних умов (напори, тиски, число Рейнольдса), а також розмірів і форми отвору. Вплив форми отвору і напору, а також числа Рейнольдса у квадратичній області опорів незначний. В зв’язку з цим для малих отворів в практичних задачах виправдано приймати . На характер стиснення струменю рідини, що витікає, і, як наслідок, на коефіцієнт витрати здатно відчутно впливати місце розташування отвору. Якщо він достатньо віддалений від сусідніх напрямних поверхонь, то має місце досконале стиснення, при якому витрата найменша. Умовою досконалого стиснення струменю є , де - довжина сторони отвору, - відстань по нормалі від цієї сторони до відповідної напрямної стінки резервуара. Недосконале стиснення може бути повним або неповним. В першому випадку виконується умова , а відповідний коефіцієнт витрати пропонується обчислювати за формулою , (4.4) де - площа змоченої частини стінки, в якій зроблено отвір з площею . Нарешті при неповному стисненні контури отвору і напрямної стінки мають спільні ділянки, через що стиснення зменшується ще більше. Тоді для коефіцієнта витрати рекомендується наступна емпірична формула , (4.5) де - периметр отвору, - периметр тієї частини отвору, на якій відсутнє стиснення, для круглих отворів і для прямокутних. 4.2. Витікання рідини крізь затоплений отвір (під рівень) Розглядається загальний випадок витікання рідини в рідину, коли на обох стали вільних поверхнях абсолютний тиск не дорівнює атмосферному (рис.4.2). рис.4.2 Схема витікання рідини в рідину через малий отвір у тонкій стінці. В порівнянні з попереднім випадком витікання рідини через отвір в атмосферу тут з'являється ще одна місцева втрата напору - завдяки різкому розширенню струмини в другому резервуарі, яке відбувається поблизу отвору. Але оскільки ця витрата компенсується кінетичною енергією, яку має струмина на виході з першого резервуару, то врешті коефіцієнти і залишаються такими ж, як і в попередньому розділі. Розрахункові формули для і мають вигляд , (4.6) . (4.7) де – різниця рівнів в першому і другому резервуарах, , - манометричні або абсолютні тиски на вільних поверхнях у першому і другому резервуарах. 4.3. Витікання рідини крізь великий отвір В цьому випадку приведені напори у верхніх і нижніх точках отвору істотно відрізняються. Великий отвір умовно поділяється близько розташованими горизонтальними лініями на декілька малих. Витрата кожного з них визначається згідно з (4.3), а потім всі витрати таких малих отворів складаються. Для прямокутного отвору шириною і висотою при приведених напорах над верхньою і нижньою кромками отвору , відповідно, шукана витрата визначається інтегруванням по його висоті і дорівнює . (4.8) Відносна похибка , що виникає при визначенні витрати рідини із відкритого резервуара крізь великий прямокутний отвір в атмосферу за формулою (4.3) для витрати крізь малий отвір, визначається наступним чином , де (для великого отвору змінюється в межах від до . Покращення пропускної здатності великого отвору в порівнянні з аналогічним за розмірами, але малим за умовами витікання, зумовлено, головним чином, зменшенням стиснення вихідного струменя рідини і, як наслідок, збільшенням коефіцієнтів стиснення і витрати. Згідно з виразом для і експериментальними даними при витіканні рідини в атмосферу (регулювання витрати в каналах гідромеліоративних систем) і можна наближено приймати . Якщо , то прискорено зростає , збільшується. В граничному випадку витікання без будь-яких перешкод , похибка досягає максимуму, а саме . 4.4. Випорожнення (наповнення) резервуара з отвором Характерним прикладом задачі неусталеного руху рідини є її витікання крізь отвір при нескомпенсованих поповненні і витрачанні початкового запасу. В резервуарі динаміка рівня рідини взагалі визначається співвідношенням між витратами, з якими відбуваються її приплив і відтік . З іншого боку витрата визначається приведеним гідродинамічним напором , де , - тиски на вільній поверхні, в оточуючому середовищі (рис.4.1) і розмірами отвору. Очевидно, що при означений рівень буде підніматися і, навпаки, при знижуватися. При сталій витрата крізь отвір наближається до неї нескінченно довго , а коли врешті досягне, то рівень зупиниться на відмітці , яка згідно з (4.3) становить . (4.9) Стабілізація гідравлічних умов в резервуарі не наступає при розташуванні отвору в дні резервуара і певних залежностях між і зовнішніми тисками , . Приймаючи до уваги показовість і практичне значення даної задачі, нижче подаються загальна і частинні розрахункові формули, стисло викладається спосіб, у який їх отримано. Перш за все складається баланс рідини в резервуарі на протязі нескінченно малого проміжку часу . Якщо площа його горизонтального перетину на висоті складає , то зміна положення рівня рідини з до призведе тут до зміни її об’єму на величину . З іншого боку така зміна зумовлена неврівноваженістю припливу і відтоку рідини за той же час . Прирівнюючи ці об’єми, одержуємо диференціальне рівняння відносно шуканої функції – рівня у вигляді , (4.10) яке слід розв’язувати при початковій умові , . (4.11) Розв’язок (4.10), (4.11) для довільної залежності представляється в інтегральній формі . (4.12) де . Переміщення рівня нескладно обчислювати без будь-яких обмежень, використовуючи стандартні пакети програм математичного аналізу ( , тощо). В окремих випадках інтеграл в (4.12) виражається через елементарні функції. Для резервуарів з вертикальними стінками маємо . Тоді з (4.12) витікає наступна розрахункова формула . (4.13) Для усталеного стану з (4.13) одержуємо (4.9) і . У відсутності припливу формула (4.13) суттєво спрощується . (4.14) За певних умов резервуар здатний випорожнитися за скінчений час. Відповідний момент часу також визначається за формулою (4.13), в якій слід покласти . Таким чином випорожнення відбудеться, якщо отвір у дні і виконується умова . Розрахунки динаміки рівня на основі (4.13) можна проводити і у більш складному випадку, коли резервуар складається з двох і більше частин, які також мають вертикальні стінки і різні площі поперечних перетинів. Тоді треба послідовно обчислювати переміщення рівня в межах кожної частини, визначаючи час її повного спорожнення або наповнення. 4.5. Витікання крізь насадки Визначення. Насадком називається коротка трубка (її довжина дорівнює трьом-восьми діаметрам ), яка приєднана до отвору. Отвори в товстій стінці, якщо її товщина і більше, також слід розглядати як насадок. В залежності від форми, насадки поділяються на циліндричні (зовнішні і внутрішні), конічні (збіжні і розбіжні), коноїдальні. Кожний вид насадка має певні переваги і недоліки і вибирається в залежності від умов застосування і практичних потреб (висока вихідна енергія, підвищена пропускна здатність тощо). При вході в насадок лінії течії викривляються таким же чином, як і у випадку отвору з найбільшим стисненням струменю рідини в перерізі . Площа його живого перерізу тут менше площі вихідного перерізу . У перерізі в зв’язку з прискореним рухом рідини тиск стає меншим, ніж у перерізі на виході з насадка. Таким чином виникає вакуум, завдяки якому рідина відсмоктується із резервуара і струмінь притягується до стінок. Врешті він цілком заповнює насадок і витікає повним живим перерізом (без стиснення на виході). На ділянці стиснення потік можна розділити на дві частини: центральну або транзитну, в якій відбувається поступальний рух рідини, і вихорову пристінну, в якій суттєва кількість механічної енергії втрачається через значне внутрішнє тертя. Таким чином коефіцієнт стає максимальним, а саме дорівнює . Поряд з цим набагато зростають місцеві втрати напору через розширення струменя в насадку (відповідний коефіцієнт опору ). а крім того при також потрібно враховувати втрати напору в ньому і по довжині. Через це коефіцієнт швидкості значно зменшується . Обчислити його можна по формулі . (4.15) Витрата рідини крізь насадок дорівнює , (4.16) причому площа вихідного перерізу або збігається з площею отвору (циліндричні насадки), або не збігається (конічні). Середня швидкість на виході з насадка визначається за формулами (4.2), (4.6). Коефіцієнти швидкості і витрати мають інші значення, ніж для отвору в тонкій стінці. Крім того вони відрізняються для різних типів насадків (Додаток, табл.6). Досліди показали, що сумарний коефіцієнт гідравлічних опорів у випадку найбільш поширеного зовнішнього циліндричного насадка становить . Через це середня швидкість при протіканні рідини крізь насадок зменшується в порівнянні з отвором приблизно на . Проте через відсутність стиснення рідини при витіканні виграш у витраті досягає . Але найбільшу пропускну здатність мають коноїдальний і розбіжний конічний, для яких збільшення витрати наближається до . Для нормальної роботи насадка потрібно контролювати в ньому вакуум. Занадто великий вакуум може призвести до його зриву внаслідок пароутворення і прориву повітря ззовні. Подальше витікання рідини буде таким же, як у випадку малого отвору. Як свідчать орієнтовні розрахунки, у зовнішньому циліндричному насадку , що обумовлює певні обмеження на напір . Найбільший вакуум спостерігається у конічно розбіжних насадках; у конічно збіжних насадках він може взагалі не утворюватися через поступове збільшення середньої швидкості. 5. КОРОТКІ І ДОВГІ ТРУБОПРОВОДИ 5.1 Загальні положення Вихідним для розрахунків трубопроводів є рівняння Бернуллі (3.3) з врахуванням обох видів втрат напору (за довжиною і місцевих). Трубопровід може складатися з кількох ділянок з різними діаметрами або з труб, виготовлених з різних матеріалів, а також мати по довжині різні місцеві опори. В цьому випадку слід деталізувати втрати напору в правій частині рівняння Бернуллі, так що воно набуває вигляду . (5.1) У коротких трубопроводах місцеві втрати напору сумірні з втратами напору по довжині і тому спрощення рівняння (5.1) недоцільне. Визначення. Трубопровід вважається коротким, якщо місцеві втрати напору перевищують втрат по довжині. Для орієнтовних розрахунків можна вважати трубопровід коротким, якщо його довжина не перевищує . В якості прикладів коротких трубопроводів доречно згадати, наприклад, всмоктуючу лінію насоса. Використання рівняння (5.1) дозволяє тут визначити висоту всмоктування насоса, щоб забезпечити підйом рідини з певної глибини. Інший цікавий приклад – скидна труба з резервуара, яка дозволяє запобігти його переповненню. До коротких трубопроводів також можна віднести деякі мережі, наприклад, внутрішній водопровід (в будинках), вентиляційні системи тощо. Визначення. Трубопровід є довгим, якщо втрати напору за довжиною значно перевищують місцеві втрати. Для визначеності до довгих трубопроводів відносять такі, в яких місцеві втрати напору складають не більше від втрат за довжиною. Якщо ж втрати ще не визначені, то виходять з довжини трубопроводу (довжина дозволяє його віднести до довгих). Нарешті, при визначатися з типом трубопроводу треба зважаючи на конкретні умови його експлуатації і конструкцію. 5.2. Розрахунок довгих трубопроводів Згідно з визначенням довгих трубопроводів, місцеві опори несуттєві і відповідними складовими в рівнянні (5.1) можна знехтувати . (5.2) Також швидкісні напори (кінетична енергія) при звичайних швидкостях руху води в трубах водопровідних, каналізаційних мереж становлять менше метра і вони значно менші, ніж п'єзометричний напір . Все це дозволяє значно спростити рівняння Бернуллі, яке буде мати вигляд . (5.3) Після певних перетворень рівняння (5.3) набуває остаточного вигляду , (5.4) де - питомий опір труб. З виразу для витікає, що питомий опір залежить від коефіцієнту , а значить числа , шорсткості, а ще більше від діаметра (зменшення діаметра в 2 рази призводить до збільшення і відповідної втрати напору в 32 рази). Значення для будь-яких умов наводяться в довідниках, а деякі характерні – в додатку. Всі вони відповідають квадратичній області руху опорів (значна турбулізація течії). При середніх швидкостях в металевих трубах величину слід уточнити по формулі , (5.5) де емпіричний коефіцієнт міститься в табл.2 додатку. Зазначимо, що з часом стінки труби піддаються корозії, на них утворюються відкладення, біоплівки, що призводить до збільшення і . Як наслідок, пропускна здатність труб може зменшитися до . На практиці часто визначається як сума , де - (геодезична) відмітка кінцевого перерізу, - п’єзометрична висота (висота манометричного тиску) в цьому ж перерізі. Вона також називається вільним напором, позначається і повинна забезпечувати комфортні умови водоспоживання для окремих і колективних споживачів. Значні втрати напору по довжині, що характерно для довгих трубопроводів, здатні стати причиною суттєвого погіршення умов їх експлуатації, нездатності виконувати свої функції в повному обсязі. Зокрема, у довгих сифонних трубопроводів існує небезпека утворення надмірного вакууму в перетині з найвищою відміткою . Виходячи з фізичних і технічних міркувань, тут повинна виконуватися умова для висоти вакууму , що накладає обмеження на параметри вказаних трубопроводів. Якщо застосувати рівняння Бернуллі до вхідного перетину з напором , вихідного з і проміжного з відміткою , висотою вакууму , то мають місце рівняння , (5.6) де - відстань від початку трубопроводу до критичного перетину, - довжина трубопроводу. Виключення з (5.6) врешті дозволяє одержати вимогу до в такому вигляді . (5.7) Мінімальне значення (дорівнює правій частині в (5.7)) відповідає максимальній пропускній здатності трубопроводу. Подальше зменшення (і збільшення ) призводить до збільшення витрати, втрат напору і, як наслідок, неприпустимого зменшення тиску в найвищому перетині трубопроводу. Ресурс механічної енергії трубопроводних систем завдяки підвищеному зовнішньому тиску, незначному перепаду рівнів (напорів) у джерелі і прийомнику рідини завжди обмежений, і часто виявляється, що його недостатньо для забезпечення необхідних витрат, підйому і акумуляції рідини в бажаних межах і кількості. Тоді слід використовувати додаткові джерела енергії, зокрема насоси. Потужність останніх встановлюється, виходячи з конкретних умов, а саме, витрати рідини і загальних витрат енергії на подолання гідравлічних опорів, а також утворення кінетичної енергії. Застосування загального визначення потужності, як добутку швидкості і сили до умов руху потоку рідини з витратою в гідравлічній системі, що характеризується вище, дозволило одержати таку формулу для потужності насосу , , (5.8) де - коефіцієнт його корисної дії, коефіцієнт застосовується, щоб виразити потужність в кіловатах , - напір, який створюється насосом і витрачається на всмоктування і підйом рідини на потрібну висоту, а також подолання всіх гідравлічних опорів, що виникають при русі рідини, і тому дорівнює . 5.3. Послідовне і паралельне сполучення На різних ділянках трубопроводу витрати можуть бути різними, якщо має місце відбір води у проміжних вузлах, або однаковими, якщо такий відбір відсутній. рис.5.1. Послідовне сполучення довгих трубопроводів У випадку послідовного сполучення трубопроводів (рис.5.1) треба обчислювати втрати напору за довжиною на кожній ділянці окремо з врахуванням відповідної витрати, а потім всі ці втрати скласти. Повні втрати напору в такому трубопроводі дорівнюють . (5.9) Для схеми на рис.5.1 втрати напору в трубопроводі становитимуть . (5.10) При паралельному сполученні трубопроводи мають спільні вузлові точки на початку і в кінці мережі (рис.5.2). Завдяки цьому забезпечується висока надійність водопостачання. Напори на початку і в кінці всіх ділянок однакові, а витрати на різних ділянках залежать від діаметру, матеріалу труб, довжини ділянки, терміну їх експлуатації. рис.5.2. Паралельне сполучення довгих трубопроводів Вихідна витрата рівномірно розподіляється між усіма ділянками тільки, якщо діаметри, довжини, терміни експлуатації збігаються і, крім того, труби виготовлені з одного матеріалу. В усіх інших випадках маємо для визначення витрат систему рівнянь, яка у найпростішому випадку для двох ділянок має вигляд , (5.11) . (5.12) В результаті розв’язку системи (5.11), (5.12) для , , одержано вирази , . Тоді втрати напору на обох ділянках , які дорівнюють одна одній, становлять . (5.13) При заданих втратах напору рівняння (5.13) дозволяє визначити загальну витрату , а потім і , . Для більшої надійності отриманих результатів рекомендується брати розрахункову довжину трубопроводу з запасом, що дозволяє частково врахувати місцеві втрати напору. 6. ПОНЯТТЯ ПРО ФІЛЬТРАЦІЮ РІДИНИ 6.1 Поняття про пористе середовище Пористі середовища надзвичайно широко розповсюджені у природі і техніці (грунти, тріщинуваті породи, завантаження фільтрів, мембрани). Вони відіграють виключну роль у житті людини вже тому, що більша частина запасів прісної води на землі зосереджується у верхній частині її пористої кори у вигляді грунтових і підземних вод. А такі води, як відомо, являються важливими ланками у природному кругообігу води. Найчастіше пористі середовища утворюються з множини дрібних твердих часток (тверда фаза), які тісно стикаються, взаємодіють між собою і між якими залишається вільний простір – пори. Через ланцюжки таких пор можливе переміщення крупних мас рідини на далекі відстані. І зрозуміло, що в центрі уваги гідравліки тут знаходиться не фізика твердої основи середовища (скелета), а саме поведінка у ньому рідини (рідка фаза) і методи управління нею. При цьому, звичайно, вплив твердої фазі на рідину, яка рухається, виявляється дуже сильним. Його наслідком є вкрай низька швидкість порової рідини і її зовсім мала кінетична енергія. Пористі середовища можуть бути і природного походження, і штучного, якщо створені із спеціально оброблених природних матеріалів (відсортований пісок), відходів виробництва, видобутку природних копалин або виготовлені за особливими технологіями із синтетичних (гранули). Ґрунти, як типові представники природних пористих середовищ, мають різноманітні механічний склад (утворюються з часток, які сильно відрізняються за розмірами та формою), структуру, геометричні та фізичні властивості. В той же час штучні середовища, як правило, мають набагато більш впорядковану будову, однорідний механічний склад, більш просту геометрію порового простору. І все ж таки в них діють одні й ті самі фізичні закони, що дозволяє використовувати загальні математичні моделі, а в інженерних розрахунках подібні формули. Для позначення течії рідини у пористих середовищах прийнято користуватися терміном «фільтрація». І тільки в теорії і практиці водоочищення, де мають справу з рухом забрудненої води через штучні середовища, його називають фільтруванням. В принципі, потік рідини у пористому середовищі (фільтраційний) являє собою асоціацію величезної кількості струминок. Ці струминки вигинаються при обтіканні нерегулярно розташованих багаточисленних твердих часток, активно взаємодіють з ними та одна з одною. Тому детальний опис їх динаміки неможливий і, як наслідок, мікрорівень не може бути базовим для характеристики фільтраційного потоку. Ефективним же виявився інший, інтегральний підхід, який базується на концепції суцільного середовища. Згідно їй, предметом фільтраційних досліджень повинен бути фіктивний потік рідини, який заповнює весь простір, а саме, пори та об’єм твердої фази. При цьому, однак, його витрата (швидкість фільтрації) строго дорівнює фактичній. В ХІХ сторіччі французьким інженером Дарсі при проведенні багаточисленних дослідів з колонками піску було встановлено, що витрата пов’язана з градієнтом напору наступним чином . (6.1) Тут - п’єзометричний напір, який практично збігається з повним внаслідок малості середньої швидкості рідини у порах, - координата вздовж шляху фільтрації. З фізичної точки зору (6.1) являється рівнянням руху і означає, що механічна енергія рідини, яка фільтрується, витрачається тільки на подолання сили опору з боку нерухомої твердої фази. Ця сила - об’ємна, тобто розподілена по всій області руху (пори, що заповнені рухомою рідиною, і скелет), і є наслідком значного тертя, яке утворюється на міжфазних границях (поверхні контакту рідини і твердих часток), а також викривлення траєкторій рідких часток, що призводить, між іншим, до багаторазового подовження їх шляху. 6.2 Поняття про коефіцієнт фільтрації і пористість Коефіцієнт пропорційності у рівнянні (6.1) являється фундаментальною фільтраційною характеристикою і іменується коефіцієнтом фільтрації. Використовуючи електричну аналогію, її зворотну величину можна інтерпретувати як опір. Згідно з (6.1) коефіцієнт дорівнює відношенню і зі знаком мінус, на основі якого і проводиться дослідне визначення його величини. Кожному середовищу в залежності від його будови властиві одне або декілька значень . Беручи до уваги ключову роль цього коефіцієнта в теорії і розрахунках фільтрації, розробці рекомендацій по його знаходженню приділялась величезна увага. Оскільки універсальних формул для коефіцієнта фільтрації створити так і не вдалося, довелося розробляти велику кількість емпіричних і напівемпіричних формул, область застосування яких зазвичай відповідає умовам проведення відповідних дослідів. Для відкаліброваних зернистих середовищ вдалою виявилась формула Козені-Кармана , (6.2) де - пористість середовища (частка пор у загальному просторі середовища). Однак в цілому надійність вищезгаданих формул для зовсім недостатня. Тому перевага надається експериментальним (лабораторним та польовим) методам визначення коефіцієнта . Основною проблемою при їх застосуванні в реальних умовах стало отримання непорушених зразків середовища. Особливе місце серед цих методів займають експрес-методи, які дозволяють оцінювати величину оперативно і з мінімумом витрат. На практиці коефіцієнт фільтрації являється нестабільною характеристикою через його зміни і в горизонтальному, і у вертикальному напрямках. В ґрунтах частіш за все сильно виражена мінливість коефіцієнту по висоті водоносної товщі, що пов’язано з її шаруватою будовою. В таких випадках доцільно вводити ефективний коефіцієнт таким чином, що швидкість фільтрації в однорідному середовищі з буде дорівнювати аналогічній швидкості у вихідному шаруватому. Якщо, наприклад, згадана товща складається з двох шарів з потужностями , і коефіцієнтами фільтрації , , то значення буде . (6.3) Крім того, коефіцієнт фільтрації в силу різних причин (значний градієнт напору; присутність у рідині речовин, які активно взаємодіють з твердою фазою; розвиток мікроорганізмів) здатний змінюватись і з часом. Типовим прикладом може служити відчутне зменшення коефіцієнта фільтрації, яке спостерігається у завантаженнях фільтрів і зумовлене зменшенням порового простору через осадження завислих часток із суспензії. Успішно врахувати такі зміни дозволяє наступна формула , (6.4) де , - коефіцієнт фільтрації і пористість чистого (без осаду) завантаження, - об’ємна концентрація осаду. Доречно підкреслити своєрідність пористих середовищ, яка з гідравлічної точки зору полягає в наступному – рух рідини в принципі неможливо звести до обтікання аналогічної сукупності часток навіть у найпростішому випадку, коли вони складені з однакових сферичних часток діаметром . Щоб пересвідчитися в цьому, достатньо порівняти фактичний коефіцієнт фільтрації і знайдений з позицій гідравліки двофазних течій. Якщо мати на увазі вираження сили опору скелета через швидкість і коефіцієнт фільтрації з одного боку, а також сумарної сили опору множини невзаємодіючих часток скелета в стоксовому наближенні (формула (3.39)) з другого, то відповідний коефіцієнт буде . Фактичним же тут можна вважати значення , яке обчислено по формулі (6.2), завдяки надійності останньої. Співставлення і показує, що вони відрізняються більше, ніж на порядок. Звідси випливає неможливість одержання шляхом корекції , що і підтверджує необхідність особливого підходу до вивчення фільтрації. Іншою дуже важливою фільтраційною характеристикою пористих середовищ є пористість . З одного боку вона показує яку максимальну кількість (об’єм) рідини середовище здатне вмістити. З іншого – пористість тісно пов’язана з опором течії рідини у порах, що, доречі, підтверджує і формула (6.2). Більша пористість означає менші звивистість шляху рідких часток і площу міжфазної поверхні. Значення визначається розмірами часток скелету і способом їх упаковки. Тим не менш і в ґрунтах, і в зернистих завантаженнях змінюється вона у незначних границях. При неповному заповненні пор рідиною пористість (вологість) може стати змінною величиною. Частина порового простору, яка залишилась вільною, заповнюється газами, в основному повітрям. При певному його вмісті у пористих середовищах утворюються умови, сприятливі для росту і розвитку живих організмів (мікроорганізми, кореневі системи рослин), а предметом кількісного аналізу стає уже комплексний водно-повітряний режим. 6.3. Поняття про водний баланс і його застосування у фільтраційних задачах Ефективним інструментом для оцінки запасів підземних і ґрунтових вод, вивчення їх динаміки служить рівняння водного балансу , (6.5) де -зміна об’єму води у середовищі за проміжок часу ; - об’єм притоку води за рахунок -ї прибуткової статті на протязі часу ; - об’єм стоку води -ї витратної статті за той же час. Через те, що рівняння (6.5) виражає закон збереження маси рідини, у гідравліці пористих середовищ воно відіграє таку ж роль, як рівняння нерозривності (3.4), (3.6) у класичній гідродинаміці. В наукових галузях фільтрації рідини та інженерної гідрології рівняння водного балансу застосовується для оцінки запасів ґрунтових і підземних вод, а також їх динаміки і на значних територіях (сільськогосподарські угіддя, підтоплені землі), і на локальних ділянках (будівельні, промислові площі). В найпростішому випадку нестисливих рідини та скелету при напірній або безнапірній течії з нерухомою вільною поверхнею у відсутності розподіленого живлення це рівняння зводиться до (3.6). Насправді фільтраційні процеси нерідко протікають у середовищах, що деформуються, при динамічному високому вмісті рідини, який підтримується за рахунок зовнішніх і внутрішніх джерел. В таких ситуаціях вигляд рівняння нерозривності може значно ускладнитися. Для підвищення надійності прогнозів формування і розвитку водного режиму пористих середовищ велике значення має правильний опис найважливіших статей балансу. З цією метою залучаються емпірична інформація і фундаментальні фізичні закони в тому числі і в градієнтній формі. Таким чином математичні задачі фільтрації містять диференційні рівняння, звичайні і в частинних похідних, а тому для їх розв’язку доводиться використовувати складний математичний апарат. Якщо вищезгадані статті взаємно компенсуються, то у середовищі вміст рідини не змінюється. Внаслідок цього її рух відбувається у стаціонарних умовах. Тоді рівняння усталеної фільтрації приймають відносно просту форму і часто успішно розв’язуються аналітичними методами. Якщо ж переважають або прибуткові, або витратні статті водного балансу, то вміст рідини в середовищі змінюється, а фільтраційні характеристики (напір, швидкість фільтрації) залежать від часу. Фільтраційним розрахункам передує схематизація природних обставин, водно-фізичних умов, формулювання математичної задачі і нарешті її розв’язок. Вказана схематизація включає вибір ефективних значень фільтраційних характеристик (коефіцієнтів), осереднення по площі і в часі параметрів водообміну, спрощення конфігурації області фільтрації. Постановка математичних задач базується на рівняннях руху і нерозривності (6.1), (6.5) або еквівалентному рівнянні фільтрації, які доповнюються підходящими граничними і початковими умовами. Шукані розрахункові формули виводяться в результаті строгого розв’язку цих задач аналітичними методами. Нижче наводяться деякі з них, які відповідають ряду типових фільтраційних схем і одержані при реалізації характерних математичних задач. 6.4. Поняття про дренажі та їх розрахунки Вкрай рідко природний водний режим ґрунтів буває оптимальним. Взагалі оптимальні показники режиму в залежності від встановленої мети варіюються у широких границях. Тому він, як правило, потребує серйозного поліпшення, а його регулювання повинно здійснюватися на протязі тривалого часу. Основним способом управління фільтраційним режимом являється облаштування дренажу. Зустрічаються його різноманітні конструкції, наприклад, кротовий, безпорожнинний, відкритий і т. ін. Однак переважна більшість дренажів є закритими, трубчастими. Їхні труби, основний конструктивний елемент, виготовляються з металу, випаленої глини, пластмас. Поверхня останніх може бути рівною або гофрованою. Вода в такі дрени поступає або через множину спеціально зроблених отворів (перфорація), або через зазори між скріпленими муфтами секціями (гончарний дренаж). Трубчастий дренаж буває горизонтальним і вертикальним. Більш дешеві горизонтальні дрени укладаються на порівняно невелику глибину (інакше їх вартість значно зростає) у траншеї, які потім засипаються добре проникним матеріалом (дренажна засипка). Таким чином з’являється можливість гнучко управляти фільтраційним, а також ненасиченим водним, повітряним режимами, але тільки у верхній частині водоносних товщ. Оскільки зона впливу окремої горизонтальної дрени невелика, то для регулювання вказаних режимів на значних територіях будуються дренажні системи, які складаються з декількох (десятків) подібних дрен. Вертикальний дренаж забезпечує більш сильний осушуючий ефект, а його вплив розповсюджується набагато далі. Проте при цьому осушення виявляється вкрай нерівномірним, так що в центральній частині зони впливу свердловини рівень ґрунтових вод може бути занадто низьким, що дуже небажано, наприклад, для сільськогосподарських земель. Тим не менш для забору великих об’ємів підземних вод, водозниження при будівництві і експлуатації різних господарських об’єктів явно кращим є вертикальний дренаж. Дія дренажів майже завжди ускладнюється цілим рядом факторів, що може суттєво позначитися на їх витраті. В першу чергу внаслідок обмежених розмірів зон впливу дрен, а також їх розташування вище водоупору фільтраційний потік різко деформується в колодренному просторі (так звана недосконалість по ступеню розкриття шарів). Крім того, у безпосередній близькості від водоприймальних елементів (отворів, щілин, зазорів) вказаний потік звужується повторно, що породжує недосконалість дренажів іншого виду, а саме по характеру розкриття шару і зумовлено його конструктивними недоліками. Обидва види недосконалості призводять до зменшення притоку до дрени (в порівнянні з досконалою, якою можна вважати порожнину в ґрунті на водоупорі). Витрата досконалої дрени (каналу) складає , (6.6) де - потужність фільтраційного потоку, - перепад напорів на границях області фільтрації, - довжина даної області. Вищезгадані деформації призводять сприяють викривленню та подовженню шляху руху рідких часток, а значить до збільшення сили опору фільтраційній течії і втрат механічної енергії. Вказані втрати напору акуратно враховуються шляхом введення у формулу (6.6) спеціальних фільтраційних опорів , , які характеризують відповідно перший та другий види недосконалості. Тоді витрата дрени скорочується у відповідності з виразом . (6.7) Із застосуванням аналітичних та експериментальних методів досліджень для різноманітних дренажів і водно-фізичних умов розроблено велику кількість розрахункових формул відносно опорів , . Так у випадку горизонтальної дрени радіусом , яка укладена в однорідний грунт на висоту над водоупором, опір , з яким пов’язуються основні додаткові втрати напору, буде (6.8) 6.5. Інфільтрація в двошарове пористе середовище з поверхневого шару води Усталена фільтрація води відбувається в пористому середовищі, яке складається з двох шарів потужностями , , і з коефіцієнтами фільтрації , (рис.6.1). рис.6.1. Схема до інфільтрації в двошарове пористе середовище з поверхневого шару води Потік води формується за рахунок інфільтрації з шару води глибиною на поверхні середовища і витікає при напорі через його нижню границю. Подібна схема і наведені нижче формули можуть бути використані при розрахунках фільтрування крізь двошарові завантаження фільтрів, фільтрацію з водосховищ, басейнів із слабопроникним покриттям, через замулені русла водотоків. Основною є формула для швидкості фільтрації , яка не змінюється по висоті і дорівнює витраті інфільтраційної (поверхневої) води, а саме, . (6.9) При цьому напори у верхньому і нижньому шарах з глибиною зменшуються наступним чином , (6.10) . (6.11) Виходячи з (6.10), нескладно встановити значення параметрів задачі, при яких забезпечується задана фільтраційна витрата. Наприклад, висота шару води на поверхні повинна дорівнювати . (6.12) 6.6. Безнапірна фільтрація між досконалими каналами Усталена безнапірна течія в однорідному пористому середовищі довжиною з коефіцієнтом фільтрації обумовлена різницею рівнів води , у прилеглих з двох боків паралельних досконалих каналах (рис.6.2). Подібна фільтраційна схема є характерною для різних перемичок, дамб, земляних гребель. рис.6.2. Схема до безнапірної фільтрації між досконалими каналами. У розрахунках фільтраційної витрати широко використовується формула Дюпюі . (6.13) Швидкість фільтрації на відміну від змінюється вздовж шляху фільтрації і складає . (6.14) Тут - є рівняння вільної поверхні, яке виражається залежністю . (6.15) 6.7. Усталений приплив до регулярної системи недосконалих горизонтальних дрен Постійний приплив води в дрени радіусом , які розташовані на відстані одна від одного, забезпечується за рахунок інфільтрації інтенсивністю (рис.6.3). Фільтрується вода в безнапірному режимі через однорідний ґрунт з коефіцієнтом фільтрації . Висота облаштування дрен над водоупором , їх недосконалість характеризується фільтраційним опором . рис.6.3. Схема припливу до регулярної системи недосконалих горизонтальних дрен. Через те, що манометричний тиск на вільній поверхні дорівнює нулю, її рівняння тотожньо наступній функції напору , (6.16) де можна спрощено обчислювати за формулою (6.8), якщо покласти . Найвища позначка рівня ґрунтових вод має місце на міждренні , а саме, . (6.17) Якщо при проектуванні такого дренажу ставиться задача обмежити підйом ґрунтових вод позначкою , то міждренна відстань не повинна перевищувати значення . (6.18) 6.8. Усталена безнапірна фільтрація до досконалої свердловини Робоча частина свердловини (фільтр) радіусом прорізає водоносний пласт до водоупору. Безнапірна фільтрація здійснюється за рахунок різниці напорів (рівнів) на зовнішній границі циліндричної області фільтрації і на свердловині (рис.6.4). Однорідний грунт має коефіцієнт фільтрації . Фільтраційний потік живиться з поверхні землі інфільтраційною водою інтенсивністю . рис.6.4. Схема усталеної безнапірної фільтрації до досконалої свердловини Рівняння, яке описує зміну напору в радіальному напрямку і є по суті рівнянням вільної поверхні, має вигляд . (6.19) З (6.19) з врахуванням має місце формула для розрахунку дебіту свердловини . (6.20) В частинному випадку із (6.20) витікає формула Дюпюі для осьосиметричної фільтрації . (6.21) Щоб досягти пониження ґрунтових вод на віддаленні від свердловини до позначки , необхідно підтримувати в ній напір . (6.22) 6.9. Неусталений приплив до свердловини і групи свердловин в напірному пласті В реальних умовах фільтрація до свердловин рідко буває усталеною, а зона їх впливу звичайно постійно розширюється. Тому, виходячи з практичних міркувань, слід віддати перевагу схемі неусталеної фільтрації, яка обумовлена відкачкою сталим дебітом із свердловини в необмеженому в плані пласті. Наведені нижче формули призначені для розрахунку зниження напору від початкового значення в довільній точці напірної водоносної товщі потужністю , з коефіцієнтом фільтрації на будь-який момент часу (рис.6.5). рис.6.5. Схема неусталеного припливу до свердловини і групи свердловин в напірному пласті Суттєво, що вказані схему і формули нескладно узагальнити на випадки безнапірної фільтрації, обмеженої області фільтрації (при наявності непроникних границь, границь живлення і т.ін.). Зниження напору під дією одиночної недосконалої свердловини з фільтраційним опором слід визначати за формулою , (6.23) де - коефіцієнт пружної водовіддачі, який характеризує зменшення пористості при зниженні напору (тиску) в пласті. Значення інтеграла тут можна брати із відповідних таблиць, але простіше і надійніше виконувати розрахунки за формулою (6.23) з допомогою стандартних пакетів програм математичного аналізу типу . Опір пропонується оцінювати при відомих довжині фільтра і радіусі свердловини наступним чином . (6.24) Згідно з (6.23) напір в свердловині буде убувати у відповідності з виразом . (6.25) При облаштуванні в однорідному необмеженому в плані напорному пласті групи із недосконалих свердловин з дебітами (рис.6.5) узагальнена розрахункова формула набуває вигляду , (6.26) де - відстань від розрахункової точки до – ї свердловини, - фільтраційний опір –ї свердловини. 6.10. Неусталений приплив до досконалої горизонтальної дрени (каналу) У відсутності стабільного живлення ґрунтових вод облаштування горизонтальної дрени сприяє зниженню рівня ґрунтових вод в межах її зони впливу, що розширюється. Таким чином фільтраційний процес стає неусталеним і, як наслідок, напір, швидкість фільтрації змінюються з часом. Через сталість напору у дрені інтенсивність вказаного процесу поступово знижується. Розглядається досконала дрена (канал), яка забезпечує максимальну швидкість стоку надлишкової води і нерівномірне пониження рівня від початкової позначки в однорідному ґрунті з коефіцієнтами фільтрації і водовіддачі (рис.6.6). Наведені нижче формули стосовно реальних недосконалих дренажів несуттєво підвищують їх вплив на водний режим ґрунту. Взагалі нестаціонарність призводить до значного ускладнення фільтраційних моделей, через що їх дослідження аналітичними методами виявляється набагато складнішим. рис.6.6. Схема неусталеного припливу до досконалої горизонтальної дрени. Тому розв’язок нестаціонарних задач фільтрації рідко вдається виразити через елементарні функції. Зазвичай вони містять спеціальні функції, для яких складаються таблиці. Однак в теперішній час такими формулами набагато простіше користуватися завдяки вищезгаданим пакетам програм матаналізу. Нижче наводяться розрахункові формули для двох типових схем неусталеної фільтрації до дренажів. У випадку досконалої горизонтальної дрени в необмеженому в плані пласті, зміна напору (рівня) описується наступною функцією . (6.27) Тут , - середня потужність фільтраційного потоку (в першому наближенні ), - функція помилок Гаусса. Витрата води в дрену на її ділянці одиничної довжини убуває згідно виразу . (6.28) на віддаленні від досконалої дрени до позначки за час , то напір у ній повинен дорівнювати . (6.29)
Design by Kopanytsia Yuriy
© Y.D. Kopanytsia, Метод трьох команд K123 - 2022